En esta pregunta, todos los anillos son conmutativos con a $1$ a menos que digamos explícitamente y todos los morfismos de anillos envían a $1$ a $1$ .
Sea $A$ sea un dominio integral local noetheriano. Sea $T$ sea un $A$ -álgebra que, como módulo A, está finitamente generada y libre de torsión.
¿Puede uno darse cuenta $T$ como un subring del (no necesariamente conmutativo) anillo $End_A(A^n)$ para algunos $n \ge 1$ ?
Una salvedad inicial: no exigiste que el mapa $T \rightarrow End_A(A^n)$ envían elementos de A a sus representantes diagonales obvios. Voy a asumir que pretendías esto.
Algunos resultados parciales:
1) Si $A=k[x,y]/(x^3-y^2)$ y $T$ es el cierre integral de A, entonces esto no se puede hacer. Sea $t$ sea el elemento $y/x$ de $T$ y $M$ la matriz que se supone que lo representa. Entonces debemos tener $xM=y Id_n$ que no tiene solución. Más en general, siempre que A sea un anillo no normal y $T$ su cierre integral, no hay soluciones.
2) Si $A$ es un dominio Dedekind la respuesta es sí. Sea $V$ sea el espacio vectorial $T \otimes Frac(A)$ y $V^{\ast}$ el espacio vectorial dual. Sea $T^{\ast} \subset V^{\ast}$ sean los vectores cuyo emparejamiento con $T$ tierras en $A$ . Utilizando la acción obvia de $T$ sobre sí misma, obtenemos una acción de $T^{op}$ en $T^{\ast}$ . Desde $T$ es conmutativa, se trata de una acción de $T$ en $T^{\ast}$ . Ahora, $T \oplus T^{\ast}$ es libre como módulo A, por lo que nos da la representación deseada.
2') Una variante conjetural de lo anterior: Tengo el vago recuerdo de que, si $A$ es un anillo polinómico, $T^{\ast}$ siempre es gratis. ¿Alguien puede confirmarlo o refutarlo?
3) Un caso que me parece imposible, pero que no puedo probar a estas horas: Sea $T = k[x,y]$ y que $A$ sea el subring $k[x^2, xy, y^2]$ . Estoy convencido de que no podemos realizar $T$ dentro del anillo de matrices con entradas en $A$ pero la prueba se vino abajo cuando intenté escribirla.
Hola, sólo quiero añadir algunos comentarios de menor importancia aquí, ya que este es un tema muy cercano a mi corazón:
1) No se sabe que existan módulos MCM finitos en dimensión 3. Lo que Hochster demostró para el caso equicaracterístico y también en dimensión general 3 (basándose en el resultado de Ray Heitmann) es que existen módulos MCM no generados infinitamente.
2) Si R es un dominio N-gradado sobre un campo perfecto de char p > 0 y R es localmente Cohen-Macaulay en el espectro puntuado, entonces R admite un MCM finito. Se puede encontrar una prueba en:
http://www.math.utah.edu/vigre/minicourses/algebra/hochster.pdf
3) Un posible candidato para un contraejemplo es el anillo local en el origen del cono sobre algunas superficies abelianas.
4) Muchas consecuencias teórico-modulares de la existencia de MCM finitos se pueden deducir de la existencia de MCM no generados infinitamente y de otras aproximaciones a las conjeturas homológicas, así que puede ser útil para lo que quieres hacer.
Salud,
Kevin Buzzard me informa, por correo electrónico y en el comentario anterior, que lo que le preocupa es el caso en que $A$ es regular. En particular, sería bueno saber si cada $T$ es un anillo matricial en este caso. Pensé en ello pero no lo resolví, así que aquí está un registro de mis ideas. Sea $n$ sea la dimensión de $A$ .
(1) Un subring de una matriz es obviamente un anillo matricial. Por tanto, si supiéramos que $T$ era un anillo matricial siempre que $T$ era normal, esto establecería que $T$ siempre fue un anillo matriz.
(2) Como expliqué en mi respuesta anterior, si $T$ es gratuito como $A$ -entonces $T$ es un anillo matricial. Tenemos las siguientes implicaciones: si $T$ es Cohen-Macaulay entonces $T$ libre de torsión y finito sobre $A$ implica $T$ plano sobre $A$ ; si $A$ es un anillo polinómico, entonces $T$ plano sobre $A$ implica $T$ libre sobre $A$ . Por lo tanto, si $A$ es un anillo polinómico y $T$ es Cohen-Macaulay, entonces $T$ es un anillo matricial.
En particular, si $n=1$ o $2$ entonces $T$ normal implica $T$ Cohen-Macaulay. Así, en estos casos, y con $A$ un anillo polinómico, $T$ es un anillo matricial.
(3) Como ya se ha explicado, si $T^\*$ es libre en $A$ también llegamos a la conclusión de que $T$ es un anillo matricial. Desgraciadamente, este puede fallar cuando $n \geq 3$ .
(4) Si hay algún $T$ -módulo $M$ en el que $T$ actúa sin núcleo, y $T$ es gratuito como $A$ -entonces $T$ es un álgebra matricial. Reformulado geométricamente, si existe cualquier gavilla coherente sobre $\mathrm{Spec}(T)$ , con apoyo en todo el $\mathrm{Spec}(T)$ cuyo pushforward a $\mathrm{Spec}(A)$ es un haz vectorial trivial, entonces $T$ es un álgebra matricial. Si limitamos nuestra atención a $A$ un anillo local, o un anillo polinómico, entonces el adjetivo "trivial" sale gratis.
Así que, si hubiera un contraejemplo, querríamos $n \geq 3$ y querríamos $T$ ser normal pero no Cohen-Macaulay . Además, nos gustaría que básicamente cualquier $T$ -módulo no es libre como $A$ -módulo.
¿Alguna idea?
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