Encontrar la suma de serie infinita anharmonic(?)

Question

Necesito ayuda con esto:

\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4\cdot5}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5\cdot6}\dots $$ $$ no sé cómo contar la suma de esta serie. Es similar a la serie estándar anarmónicos por lo que debe tener solución similar. Sin embargo no puedo trabajarlo hacia fuera.

Answer 1

Lo que estamos evaluando es la serie infinita

$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}.$$

Desde

$$\frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3n}-\frac{1}{3(n+3)},$$

entonces

$$\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{1}{3n(n+1)(n+2)}-\frac{1}{3(n+1)(n+2)(n+3)}.$$

Así que tu serie de telescopios para

$$\frac{1}{3(1)(2)(3)} = \frac{1}{18}.$$

Answer 2

De Euler función Beta: $$\begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}&=&\sum_{k\geq 1}\frac{\Gamma(k)}{\Gamma(k+4)}=\frac{1}{\Gamma(4)}\sum_{k\geq 1}B(k,4)\\&=&\frac{1}{6}\sum_{k\geq 1}\int_{0}^{1}(1-x)^3 x^{k-1}\,dx\\&=&\frac{1}{6}\int_{0}^{1}(1-x)^2\,dx\\&=&\frac{1}{6}\int_{0}^{1}x^2\,dx = \color{red}{\frac{1}{18}}.\end{eqnarray*}$ $

Answer 3

$$I=\dfrac2{n(n+1)(n+2)(n+3)}$$

$$2I=\dfrac{(n+2)(n+1)-n(n+3)}{n(n+1)(n+2)(n+3)}=\dfrac1{n(n+3)}-\dfrac1{(n+1)(n+2)}$$

$$6I=\dfrac1n-\dfrac1{n+3}-3\left(\dfrac1{n+1}-\dfrac1{n+2}\right)$$

¿Ves la naturaleza telescópica?

Answer 4

Utilizar la identidad\begin{align} &\quad\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)\dots(n+k)}\\ \equiv&\quad\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\Gamma(n)}{\Gamma(n+k+1)}\\ \equiv&\quad\frac{\Gamma (k)}{\Gamma (k+1)^2}\\ \equiv&\quad\dfrac{1}{k k!}, k\in \mathbb{N}, k\geq 1\\ \end {Alinee el}

Answer 5