¿Cómo puedo calcular el 2º plazo de la continuación de la fracción de la potencia de la torre ${^5}e=e^{e^{e^{e^{e}}}}$

Question

Necesito encontrar el 2º plazo de la continuación de la fracción de la potencia de la torre ${^5}e=e^{e^{e^{e^{e}}}}$ ( es decir, $\lfloor\{e^{e^{e^{e^{e}}}}\}^{-1}\rfloor$), o incluso más altas torres. El número es demasiado grande para que el proceso en tiempo razonable con librerías numéricas o algoritmos para mí: el 1er plazo de la continuación de la fracción de más de $10^{10^6}$ dígitos decimales. Hay un truco que permite hacer cálculos más rápido?

ACTUALIZACIÓN: he creado una secuencia A225053 en OEIS para el 2do términos de fracciones continuas para torres de energía $e,\,e^e,\,e^{e^e},\,\dots$ por Favor siéntase libre de ampliarlo si usted encuentra una manera de calcular los términos más.

Answer 1

Puede no ser una respuesta directa a su pregunta, pero es posible que no hay ningún 2º plazo de la continuación de la fracción en cuestión.

Creo que es una larga abra problema si $\,{^5 e}\in\mathbb{N}$, y, en general, para cada entero $n \ge 5$, si $\,{^n e}\in\mathbb{N}$ (y también, para cada entero $n \ge 4$, si $\,{^n \pi}\in\mathbb{N}$).

Se menciona varias veces en la Wikipedia, por ejemplo, en ruso artículo de Wikipedia Открытые математические проблемы (Abierto de problemas matemáticos) y en algunas listas de correo. Preguntas similares se discutieron aquí en Matemáticas.SE: $e^{e^{e^{79}}}$ y ultrafinitism, Cómo mostrar $e^{e^{e^{79}}}$ no es un número entero. En la actualidad, estas preguntas parecen muy lejos de ser resuelto, y es completamente claro cómo acercarse a ellos.