Normalización de una curva elíptica para hallar soluciones enteras

Question

Tengo una curva elíptica $$ c_1y^2 + a_1xy + a_3 = c_2x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6 $$ con números enteros $a_1,a_2,a_3,a_4,a_6,c_1,c_2$ y me gustaría encontrar todas las soluciones enteras de esta curva elíptica. Tengo un sistema (Sage o MAGMA) que puede encontrar todas las soluciones enteras de una curva elíptica $$ y'^2 + a_1x'y' + a_3 = x'^3 + a_2x'^2 + a_4x' + a_6 $$ que corresponde al caso especial $c_1=c_2=1.$ Ya que estoy trabajando sobre $\mathbb{Q}$ no hay problemas con la característica, y puedo encontrar un cambio de variables $x'=\alpha x+\beta,\ y'=\gamma y+\delta$ para obtener este formulario. Pero estoy buscando soluciones integrales para $(x,y)$ en lugar de $(x',y')$ . ¿Puedo resolver este problema con el solucionador (de caja negra)?

Alternativamente, ¿existen solucionadores que tomen $a_1,a_2,a_3,a_4,a_6,c_1,c_2$ y encontrar todas las soluciones enteras?

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Ejemplo

Supongamos que intento encontrar soluciones enteras de $3y^2 - 1 = x^3 + x.$ Sea $x'=x/3$ y $y'=y/3,$ entonces la nueva curva es $y'^2 - 1/27 = x'^3 + x'/9$ . Pero la solución entera $(x,y)=(1,1)$ en el original corresponde a la solución racional $(x',y')=(1/3,1/3)$ en la segunda y, por tanto, se pasaría por alto si sólo se buscaran las soluciones enteras de la segunda ecuación.

Answer 1

Supongamos que $(X,Y)$ es un punto integral en la curva elíptica $$c_1y^2 + a_1xy + a_3 = c_2x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6.$$ A continuación, conecte $X$ y $Y$ y multiplicando por $c_1^3c_2^2$ muestra que $$(c_1^2c_2Y)^2+a_1(c_1c_2X)(c_1^2c_2Y)+a_3=(c_1c_2X)^3+a_2c_1(c_1c_2X)^2+a_4c_1^2c_2(c_1c_2X)+a_6c_1^3c_2^2,$$ por lo que el punto $(c_1c_2X,c_1^2c_2Y)$ es un punto integral en la curva elíptica $$y^2+a_1xy+a_3=x^3+a_2c_1x^2+a_4c_1^2c_2x+a_6c_1^3c_2^2.$$ Ahora usa tu caja negra para encontrar puntos integrales en esta curva elíptica, y luego para cada punto integral comprueba si el $x$ - y $y$ -las coordenadas son divisibles por $c_1c_2$ y $c_1^2c_2$ respectivamente, para determinar si corresponde a un punto integral de la curva elíptica original.