Si $A\subseteq\Bbb R$ es no vacío con $|A|\ge 2$ entonces $A$ totalmente desconectado $\iff A^\circ=\emptyset$ .

Question

Durante la realización de un ejercicio, se me ocurrió la afirmación que figura en el título. Sólo busco una verificación.

$\underline{\text{Claim: } A\text{ is totally disconnected}\iff A^\circ=\emptyset.}$

$\underline{\implies}$

Sea $x\in A$ , $\epsilon>0$ y $U=(x-\epsilon, x+\epsilon)$ . Desde $U\cap A$ no está conectado, $U\cap (\Bbb R\setminus A)\ne\emptyset$ y por lo tanto, $x\notin A^\circ$ .

$\underline{\impliedby}$

Sea $x,y\in A$ con $x<y$ . Supongamos que existe un conjunto conexo $B\subseteq A$ tal que $x,y\in B$ . Desde, $(x,y)$ está conectado, $(x,y)\subseteq B\subseteq A$ . Esto contradice $A^\circ=\emptyset$ .

Answer 1

Yo modificaría un poco la prueba. En la primera frase podría escribir

Sea $x∈A, ϵ>0$ y $U=(x−ϵ,x+ϵ)$ . Desde $U∩A$ $\color{red}{\text{is a singleton}}$ o no está conectado, $U∩(ℝ∖A)≠∅$ y por lo tanto, $x∉A^∘$ .

La otra dirección está bien.

Creo que no es necesaria la hipótesis de que $|A|\ge 2$ . Si $A$ es un único punto, entonces está totalmente desconectado ya que los componentes son singletons en ese caso.