Positividad de los valores propios de una matriz tridiagonal casi Toplitz

Question

¿Cómo se puede demostrar que la siguiente matriz tridiagonal

$$M_n= \begin{pmatrix} -1&3&0&\dots&\dots&\dots&0\\ 3&2&-1&0&&&\vdots\\ 0&-1&2&-1&\ddots&&\vdots\\ \vdots&0&-1&2&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&\ddots&-1&0\\ \vdots&&&0&-1&2&-1\\ 0&\dots&\dots&\dots&0&-1&2 \end{pmatrix}$$

tiene exactamente un valor propio negativo?

El problema inicial consistía en demostrar que tiene al menos un cierto número de valores propios reales positivos (no necesariamente distintos) para valores suficientemente grandes. $n$ que puede resolverse utilizando Teorema del círculo de Gershgorin :

Lo que implica $-4\le \lambda\le6$ si no me equivoco, ya que $M_n$ tiene valores propios reales (es hermitiana),

Entonces, como la traza $\operatorname{Tr}M_n =2n-3$ de una matriz es también la suma de sus valores propios, debemos tener al menos $\frac{2n-3}{6}$ valores propios reales positivos, en caso contrario $\operatorname{Tr}M_n < 2n-3$ sería una contradicción.

Pero me di cuenta $M_n$ parece tener exactamente un valor propio real negativo, y el resto valores propios reales positivos, para cada $n$ .

¿Cómo podemos demostrar este límite estricto?

Answer 1

TRES:

$$ P^T H P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ \frac{ 3 }{ 11 } & \frac{ 1 }{ 11 } & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} - 1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 & \frac{ 3 }{ 11 } \\ 0 & 1 & \frac{ 1 }{ 11 } \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 21 }{ 11 } \\ \end{array} \right) $$ $$ Q^T D Q = H $$ $$\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{ 1 }{ 11 } & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 21 }{ 11 } \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{ 1 }{ 11 } \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} - 1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 2 \\ \end{array} \right) $$

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CUATRO:

$$ P^T H P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{ 3 }{ 11 } & \frac{ 1 }{ 11 } & 1 & 0 \\ \frac{ 1 }{ 7 } & \frac{ 1 }{ 21 } & \frac{ 11 }{ 21 } & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} - 1 & 3 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & \frac{ 3 }{ 11 } & \frac{ 1 }{ 7 } \\ 0 & 1 & \frac{ 1 }{ 11 } & \frac{ 1 }{ 21 } \\ 0 & 0 & 1 & \frac{ 11 }{ 21 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 21 }{ 11 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{ 31 }{ 21 } \\ \end{array} \right) $$ $$ Q^T D Q = H $$ $$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{ 1 }{ 11 } & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{ 11 }{ 21 } & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 21 }{ 11 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{ 31 }{ 21 } \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{ 1 }{ 11 } & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{ 11 }{ 21 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} - 1 & 3 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \\ \end{array} \right) $$

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CINCO:

$$ P^T H P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{ 3 }{ 11 } & \frac{ 1 }{ 11 } & 1 & 0 & 0 \\ \frac{ 1 }{ 7 } & \frac{ 1 }{ 21 } & \frac{ 11 }{ 21 } & 1 & 0 \\ \frac{ 3 }{ 31 } & \frac{ 1 }{ 31 } & \frac{ 11 }{ 31 } & \frac{ 21 }{ 31 } & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrrr} - 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & \frac{ 3 }{ 11 } & \frac{ 1 }{ 7 } & \frac{ 3 }{ 31 } \\ 0 & 1 & \frac{ 1 }{ 11 } & \frac{ 1 }{ 21 } & \frac{ 1 }{ 31 } \\ 0 & 0 & 1 & \frac{ 11 }{ 21 } & \frac{ 11 }{ 31 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{ 21 }{ 31 } \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrrr} - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 21 }{ 11 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{ 31 }{ 21 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{ 41 }{ 31 } \\ \end{array} \right) $$ $$ Q^T D Q = H $$ $$\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{ 1 }{ 11 } & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{ 11 }{ 21 } & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{ 21 }{ 31 } & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrrr} - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 21 }{ 11 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{ 31 }{ 21 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{ 41 }{ 31 } \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{ 1 }{ 11 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{ 11 }{ 21 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{ 21 }{ 31 } \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrrr} - 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \\ \end{array} \right) $$

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SEIS:

$$ P^T H P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{ 3 }{ 11 } & \frac{ 1 }{ 11 } & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{ 1 }{ 7 } & \frac{ 1 }{ 21 } & \frac{ 11 }{ 21 } & 1 & 0 & 0 \\ \frac{ 3 }{ 31 } & \frac{ 1 }{ 31 } & \frac{ 11 }{ 31 } & \frac{ 21 }{ 31 } & 1 & 0 \\ \frac{ 3 }{ 41 } & \frac{ 1 }{ 41 } & \frac{ 11 }{ 41 } & \frac{ 21 }{ 41 } & \frac{ 31 }{ 41 } & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrrrr} - 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrrrr} 1 & 3 & \frac{ 3 }{ 11 } & \frac{ 1 }{ 7 } & \frac{ 3 }{ 31 } & \frac{ 3 }{ 41 } \\ 0 & 1 & \frac{ 1 }{ 11 } & \frac{ 1 }{ 21 } & \frac{ 1 }{ 31 } & \frac{ 1 }{ 41 } \\ 0 & 0 & 1 & \frac{ 11 }{ 21 } & \frac{ 11 }{ 31 } & \frac{ 11 }{ 41 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{ 21 }{ 31 } & \frac{ 21 }{ 41 } \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{ 31 }{ 41 } \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrrrr} - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 21 }{ 11 } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{ 31 }{ 21 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{ 41 }{ 31 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{ 51 }{ 41 } \\ \end{array} \right) $$ $$ Q^T D Q = H $$ $$\left( \begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{ 1 }{ 11 } & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{ 11 }{ 21 } & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{ 21 }{ 31 } & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{ 31 }{ 41 } & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrrrr} - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 21 }{ 11 } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{ 31 }{ 21 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{ 41 }{ 31 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{ 51 }{ 41 } \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrrrr} 1 & - 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{ 1 }{ 11 } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{ 11 }{ 21 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{ 21 }{ 31 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{ 31 }{ 41 } \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrrrr} - 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \\ \end{array} \right) $$

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Answer 2

Por comodidad, suprimamos el subíndice en $M_n$ . El principal rezagado $(n-1)\times(n-1)$ submatriz $P$ de $M$ es una matriz de Toeplitz tridiagonal simétrica cuyas entradas diagonales son $a=2$ y cuyas entradas subdiagonales son $b=-1$ . Los valores propios de $P$ son por lo tanto $$ \lambda_k(P)=a+2b\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)=2\left(1-\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)\right) $$ para $k=1,2,\ldots,n-1$ . Por lo tanto $\lambda_k(P)>0$ para cada $k$ y $P$ es positiva definida. Sin embargo, por la desigualdad entrelazada de Cauchy para matrices con bordes, $$ \lambda_1(M)\le\lambda_1(P)\le\lambda_2(M)\le\lambda_2(P)\le \cdots\le\lambda_{n-1}(M)\le\lambda_{n-1}(P)\le\lambda_n(M). $$ Así $M_n$ tiene como máximo un valor propio no positivo. Este valor propio debe ser negativo, de lo contrario $M$ sería semidefinida positiva, lo que contradice el hecho de que la primera entrada de $M$ es negativo.