¿Consistencia de los axiomas de Peano (Hilbert ' segundo problema s)?

Question

(Dejando de lado por el momento, que la Wikipedia puede no ser la mejor fuente de conocimiento.)

Yo sólo vine a través de esta Wikipedia párrafo en el Peano-Axiomas:

La gran mayoría de los contemporáneos de los matemáticos creen que los axiomas de Peano son consistentes, confiando en la intuición o la aceptación de una coherencia a prueba de como Gentzen de la prueba.

Y a continuación, regresó al artículo sobre la inducción matemática:

El principio de inducción matemática usualmente se expresa como un axioma de los números naturales; ver axiomas de Peano.

Yo no soy de las matemáticas persona, pero tengo curiosidad -, ¿cómo puede algo que suena como que se cree para ser coherente, ser la base de tales ampliamente utilizado la prueba técnica?

(El artículo de la Wikipedia en Peano-Axiomas establece que: "Cuando los axiomas de Peano fueron propuestas por primera vez, Bertrand Russell y otros estuvieron de acuerdo en que estos axiomas implícitamente definido lo que entendemos por un "número natural".)

Answer 1

La respuesta es relativamente simple, pero complicado.

No podemos demostrar que los axiomas de Peano (PA) es una constante en la teoría de los axiomas de la PA. Podemos probar la consistencia de la más fuerte de las teorías, por ejemplo, la Zermelo-Fraenkel (ZF) la teoría de conjuntos. Así, podríamos demostrar que la PA es consistente de PA a sí mismo si era inconsistente para comenzar con, pero no es tan útil.

Esto nos lleva a un punto discutido en este sitio antes. Hay un cierto punto en la investigación matemática que deje de preguntarse si fundacional de la teoría es consistente, y que acaba de asumir que son.

Si usted acepta ZF como su fundación se puede demostrar que la PA es consistente, pero no puedes demostrar que ZF en sí es una constante (a menos que, de nuevo, es inconsistente para empezar); si quieres una más fuerte de la teoría de la fundación, (por ejemplo, ZF+Inaccesible cardenal), entonces usted puede probar ZF es consistente, pero no puede demostrar que es el más fuerte de la teoría es consistente (a menos incoherente... bla bla bla).

Sin embargo lo que nos guía es una noción informal: tenemos una buena idea de lo que son los números naturales (o lo que las propiedades de los conjuntos deben tener), y que en su mayoría están de acuerdo que un PA describe los números naturales también-e incluso si no podemos demostrar que es coherente, decidimos utilizarla como base para otros trabajos.

Por supuesto, usted puede preguntarse, ¿por qué no es incompatible? Bueno, no lo sabemos. No hemos encontrado la incoherencia y la contradicción todavía. Algunas personas dicen que la encontraron, de tiempo en tiempo, de todos modos, pero a menudo están mal y malinterpretan punto sutil que tienen la intención de explotar en su prueba. Esto funciona en nuestro favor, por así decirlo, porque demuestra que no podemos encontrar la contradicción en una teoría: en realidad, puede ser coherente, después de todo.

Por desgracia, como muchos de los misterios de la vida: éste permanecerá abierta para nosotros creo que si lo que escuchamos es verdadera o falsa, si la teoría es consistente o no.

Algún material de lectura:

1. Cómo es un sistema de axiomas diferentes de un sistema de creencias?

Answer 2

Los matemáticos creen en "el" principio de inducción para los números naturales no porque de la teoría de conjuntos o PA o su consistencia, ellos creen en "el" principio de inducción debido a su intuición sobre los números naturales. Los axiomas son medios de expresión de estas intuiciones.

Los matemáticos creen que la PA es consistente y en el hecho de sonido porque satisface el modelo estándar de los números naturales (0 y sus sucesores). Si usted cree en los números naturales, entonces el principio de la inducción seguiría automáticamente para todos los bien definidos "propiedades".

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Uno debe tener cuidado aquí, porque "el principio de la inducción" se utiliza para varias cosas, por ejemplo, el sector informal de la intuición de que

si una "propiedad" $P$

• tiene por 0, y
• si que tiene de número natural $n$, entonces se mantiene por su sucesor $n+1$,

entonces se cumple para todos los números naturales.

Aquí la "propiedad" es un informal concepto.

La inducción es también utilizado para referirse a los diversos formal de axiomas que trate de capturar a este informal de la intuición, como por ejemplo el orden de inducción axioma en la teoría de la aritmética, el segundo orden de inducción axioma de Peano, etc.

Answer 3

Me gustaría informarle de que comúnmente con el Dr. Teodoro J. Stepien, pronuncié un discurso en la Conferencia "Europeas de 2009, la Reunión de Verano de la Asociación para la Lógica Simbólica, Lógica Coloquio'09" (31 de julio - 5 de agosto de 2009, Sofía, Bulgaria). En esta charla, titulada "En la consistencia de la Aritmética de Peano Sistema", nos presenta un esbozo de la prueba de la consistencia de la Aritmética de Peano (Sistema de curso, el pleno de la prueba fue construido por nosotros antes de la mencionada Conferencia "la Lógica Coloquio de 2009"). Esta prueba es ABSOLUTAMENTE ELEMENTAL, es decir no se utilizan SÓLO los axiomas de la lógica de primer orden y los axiomas de la Aritmética de Peano Sistema. Por lo tanto, a partir de la construcción de esta prueba, de ello se sigue que Gödel del Segundo Teorema de la Incompletitud no es VÁLIDO. El asbtract de esta charla fue publicado en El "Boletín de la Lógica Simbólica": T. J. Stepien y L. T. Stepien, Bull. Symb. La lógica de 16, 132 (2010). Es accesible en el siguiente enlace http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/1601-toc.htm y después de hacer clic en: "Europeas de 2009 Reunión de Verano de la Asociación para la Lógica Simbólica, Lógica Coloquio '09, Sofía, Bulgaria, 31 de julio-5 de agosto de 2009" (página 132).