¿Endofunctores lógicos de Set?

Question

¿Qué supuestos de la teoría de conjuntos son necesarios y suficientes para garantizar la existencia de un endofunctor no trivial (es decir, no isomorfo a la identidad) de la categoría Conjunto que sea lógico (es decir, que preserve los límites finitos y los objetos potencia, y por tanto también los colímites finitos y los exponenciales)?

En el extremo inferior, Andreas Blass demostró ("Exact functors and measurable cardinals") que existe un exacto endofunctor de Conjunto (es decir, preservando límites y colímites finitos) si existe un cardinal medible. Dado que los functores lógicos son a fortiori exacta, la existencia de un cardinal mensurable es una condición necesaria. En el extremo superior, cualquier incrustación elemental no trivial j:VV induce seguramente un endofunctor lógico de Conjunto, por lo que la existencia de un Reinhardt cardenal es una condición suficiente. Pero, ¿puede precisarse más?

Answer 1

Existe un axioma teórico de conjuntos debido a Paul Corazza llamado Axioma de Totalidad, que se enuncia en el lenguaje de ZFC aumentado por un único símbolo de función unaria j. El axioma expresa, como un esquema, que j es una incrustación elemental no trivial de V a V. Es decir, tenemos el esquema del axioma elemental, que expresa "para todo x, phi(x) iff phi(j(x))" y el axioma de no trivialidad, que expresa "existe x, j(x) not=x" y el axioma del punto crítico, que expresa "existe un mínimo ordinal kappa tal que kappa < j(kappa)".

Bajo este axioma, j es realmente una incrustación elemental del universo V a V, y por lo tanto esto presumiblemente induce el tipo de functor que quieres.

La cuestión es que la fuerza de consistencia cardinal grande de este axioma es más débil que un cardinal de Reinhardt. De hecho, es estrictamente inferior a un cardinal I3.

Pero la situación con este axioma no es muy buena, ya que la j que se obtiene no será una clase definible en el sentido habitual de ZF. Además, no tendrás el Axioma de Reemplazo en el lenguaje completo con j. Así que para hacer uso del axioma, en efecto renuncias un poco a lo que quieres decir con la existencia de tal j.

Hay una ambigüedad, ¿no?, en la pregunta cuando se pregunta por la existencia de un objeto de clase propio. ¿Qué tipo de existencia se desea? La pregunta no es directamente formalizable en la teoría de conjuntos ordinaria, ya que la pregunta es en sí misma una cuantificación sobre clases propias (aunque la teoría de conjuntos de Kelly Morse se adaptaría a esto). ¿Quiere una clase definible? ¿Quiere una clase en el sentido de Goedel-Bernays? Tener una actitud relajada al respecto permite reducir la fuerza de consistencia cardinal de la respuesta.