Prueba de convergencia en distribución y Limsup

Question

Actualmente estoy utilizando 'Aventura en Procesos Estocásticos' para autoestudio. Aquí está el enlace . Esta es la parte que no entiendo:

Dejar $\left[n\rightarrow \infty\right]$ obtenemos $\limsup_{n\rightarrow \infty} \mid P_n(s)-P_o(s)) \mid \leq \epsilon$ .

Nunca he aprendido sobre limsup, así que estoy confundido lo que esto significa. ¿Por qué no utilizar simplemente limsup?

Answer 1

¿Por qué no usar el límite?

Porque, como suele ocurrir, aún no se sabe si existe un límite. Limsups siempre existen, de ahí que sean útiles para demostrar que existen límites y para determinarlos.

A saber, una secuencia $(x_n)$ converge a $\ell$ sólo si $\limsup\limits_{n\to\infty}|x_n-\ell|=0$ si y sólo si, para cada $\varepsilon\gt0$ , $\limsup\limits_{n\to\infty}|x_n-\ell|\leqslant\varepsilon$ .