Encontrar todas las soluciones de Ax = b

Question

Edita: He reescrito toda la pregunta porque no estaba clara. No estoy seguro de que esto sea mejor. Este es un problema de varios pasos utilizando MATLAB, así que he tratado de reducirlo un poco sin perder nada.

Sea $A$ sea una matriz aleatoria de 6x6, y $b$ sea una matriz aleatoria de 6x1. Dado que $A$ se generara aleatoriamente, esperaríamos que fuera no singular. El sistema $Ax = b$ debe tener una solución única.

Ahora cambiemos $A$ para que sea singular. Sustituya la tercera columna de $A$ con una combinación lineal de sus dos primeras columnas, a saber $a_3 = 4*a_1 + 3*a_2$ donde $a_1, a_2,$ y $a_3$ son la primera, segunda y tercera columnas de $A$ .

Ahora dejemos que $y$ sea una matriz aleatoria de 6x1 y que $c = Ay$ .

Calcular la forma escalonada reducida $U$ de $[A$ $c]$ .

La variable libre determinada por la forma escalonada debe ser $x_3$ . Examinando el sistema correspondiente a la matriz $U$ deberías ser capaz de determinar la solución correspondiente a $x_3 = 0$ . Sea el vector columna $w$ sea esta solución.

Ahora establece la última columna de $U$ a ceros. Así que $U$ debería corresponder ahora a la forma escalonada reducida de $(A | 0)$ . Utilice $U$ para determinar la solución del sistema homogéneo cuando la variable libre $x_3 = 1$ e introduzca su resultado como vector $z$ .

Establecer $v = w + 3 * z$ . El vector $v$ debe ser una solución al sistema $Ax = c$ . ¿Por qué? Explica. . . . ¿Cuál es el valor de la variable libre $x_3$ para esta solución?

Esta es la parte en la que estoy atascado:

¿Cómo podríamos determinar todas las posibles soluciones del sistema en términos de los vectores $w$ y $z$ ? Explícalo.

Answer 1

Para completar mi comentario anterior, la construcción nos dice que estamos buscando un subespacio unidimensional.

Si $Aw=c$ y $Ay=c$ entonces, por linealidad $A(w-y)=0$

y ya que tenemos una solución: $Az=0$ y estamos tratando con un subespacio unidimensional, $(w-y)$ debe ser múltiplo de esa solución, es decir

$w-y=\lambda z$

Como ha dicho joriki.

Answer 2

Su referencia a "la variable libre" no está clara. En general, si $A$ es una matriz singular, el espacio de solución puede tener cualquier número de dimensiones. Incluso si tiene una dimensión, no suele haber una variable libre específica; en el caso general, cualquier variable puede considerarse "libre" y las demás expresarse en términos de ella. Así pues, "con la variable libre puesta a cero" no es una descripción bien definida de $w$ .

Para el singular general $A$ no es posible expresar todas las soluciones del sistema en términos de sólo dos vectores. Sin embargo, pareces estar suponiendo implícitamente que el espacio de soluciones es unidimensional. En ese caso, todas las soluciones son de la forma $w+\lambda z$ con $\lambda$ .

Por cierto, el hecho de que $v=w+3z$ también es una solución para $Ax=b$ se deduce de los demás datos y no es necesaria para la solución.