¿Está la teoría de Hodge relacionada de algún modo con una acción de grupo de Galois Gal(C/R)?

Question

Actualmente estoy tomando un curso en la teoría de Hodge ... y me pregunto si todos los desdoblamientos en $\{i,-i\}$ Los pares de valores propios proceden de la acción del grupo de Galois (de la extensión $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ ) - a mí me lo parece (y no he podido encontrar tal afirmación en mi libro de texto).

¿Es cierto? En caso afirmativo, ¿es ésta una buena manera de pensar en la descomposición de Hodge o se necesitan más datos que sólo el grupo de Galois? En caso negativo, ¿cuál es mi error?

Pensé (si mi suposición es cierta), que esta sería una forma de generalizar a otras extensiones de campos algebraicos.. ¿existen análogos de la teoría de Hodge para cualquier extensión de campo algebraico? ¿Involucra al grupo de Galois?

Si esta pregunta no es lo suficientemente "investigadora", ciérrela... Volveré a hacer preguntas dentro de un año :-)

Answer 1

Tienes razón: hay una conexión con la teoría de Galois de $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ aquí.

Para dar una estructura de Hodge en un espacio vectorial real $V$ -- es decir, una descomposición por suma directa de su complejización en $(p,q)$ subespacios tales que $H^{q,p}$ es el conjugado complejo de $H^{p,q}$ -- equivale a dar una acción de $G = \operatorname{Res}_{\mathbb{C}/\mathbb{R}} \mathbb{C}^{\times}$ en $V$ . Aquí $\operatorname{Res}_{\mathbb{C}/\mathbb{R}} \mathbb{C}^{\times}$ significa la "restricción de escalares" de $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ del grupo multiplicativo complejo $\mathbb{C}^{\times}$ . En términos más sencillos, significa que vemos $\mathbb{C}^{\times}$ no como un grupo algebraico complejo unidimensional, sino como un grupo algebraico real bidimensional, un "toro no dividido". Entonces el hecho de que tengamos un homomorfismo de grupos reales

$$G \to \operatorname{GL}(V)$$

implica una condición adicional sobre la representación complejada $\mathbb{C}^{\times} \to \operatorname{GL}(V \otimes \mathbb{C})$ a saber, que el espacio $V^{p,q}$ en el que $z$ en $\mathbb{C}^{\times}$ actúa como $z^{p} \overline{z}^q$ es el conjugado complejo del espacio $V^{q,p}$ .

Encontrará un breve (¡pero preciso!) análisis al respecto en

http://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_structure#Hodge_structures

Answer 2

Según tengo entendido, de acuerdo con Gelfand/Manin "Álgebra Homológica" p. 140, la idea de las estructuras de Hodge proviene de las representaciones de Galois en aritmética y luego fue transferida a las variedades complejas por el "yoga des poids" de Deligne. Pero no está claro (¿o lo estaba? El libro se escribió hace 20 años) qué grupo de simetría (llamado "simetrías de Hodge" en el libro) se esconde detrás.