Desigualdad : $\frac{a^{n+1}}{x}+\frac{b^{n+1}}{y}+\frac{c^{n+1}}{z}\geq1 $

Question

Demostrar que si $a, b, c, x, y, z >0$ y $n$ es un número entero positivo tal que

$(a^n+b^n+c^n)^{n+1}=x^n+y^n+z^n$ entonces $$\frac{a^{n+1}}{x}+\frac{b^{n+1}}{y}+\frac{c^{n+1}}{z}\geq1 $$

Mi intento :

Por Desigualdad de Titularidad,

$$(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})^n(1+1+1) \geq (a^n+b^n+c^n)^{n+1}$$

$$(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})^n \geq \frac{x^n+y^n+z^n}{3}$$

No sé cómo proceder.

Answer 1

Por Holder tenemos $(\frac{a^{n+1}}{x}+\frac{b^{n+1}}{y}+\frac{c^{n+1}}{z})^n(x^n+y^n+z^n)\geq(a^n+b^n+c^n)^{n+1}$ .

Así pues, tenemos $(\frac{a^{n+1}}{x}+\frac{b^{n+1}}{y}+\frac{c^{n+1}}{z})^n\geq\frac{(a^n+b^n+c^n)^{n+1}}{x^n+y^n+z^n}=1 \rightarrow \frac{a^{n+1}}{x}+\frac{b^{n+1}}{y}+\frac{c^{n+1}}{z}\geq 1$ .

Answer 2

Pista: Titular: $$ (x^n+y^n+z^n)^{1/n+1}(\frac{a^{n+1}}x+\frac{b^{n+1}}y+\frac{c^{n+1}}z)^{n/n+1}>? $$