Sea $X$ sea un espacio de Banach. Y sea $F\subset X$ sea un subespacio cerrado y lineal (en particular es Banach). Quiero demostrar lo siguiente:
Sea $d(x,F)=\displaystyle \inf_{y\in F} ||x-y||$ . ¿Es cierto que existen $y \in F$ tal que $d(x)=||x-y||$ ?
¿Y si $F$ ¿también es de dimensión finita?
En general, no es necesario que exista un $y \in F$ que se da cuenta de la distancia. Si $F$ es de dimensión finita, o si $X$ es reflexivo, entonces siempre existe tal $y$ .
En el caso de las dimensiones finitas $F$ la intersección de las bolas cerradas alrededor de $x$ y $F$ es compacto, ya que $F$ es localmente compacta. Por tanto, la intersección
$$\bigcap_{r > d(x,F)} F\cap \overline{B_r(x)}$$
no es vacío, ya que todas las intersecciones finitas son no vacías. Todos los elementos de esa intersección realizan la distancia.
Si $X$ es reflexiva, las bolas cerradas son débilmente compactas, y el mismo argumento de compacidad garantiza que la intersección anterior no es vacía.
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