¿Cómo abordar esta prueba sobre la convergencia del producto infinito?

Question

Tengo la siguiente pregunta Me dieron en una hoja tutorial para repasar Series Infinitas, y en ella se introducen Productos Infinitos, al igual que la siguiente pregunta:

Supongamos que $\,b_{n}>0\,$ para todos $\,n \in \mathbb{N}$ . Demostrar que $\prod_{n=1}^{\infty} b_{n}$ converge si y sólo si $$\sum_{n=1}^{\infty} \ln b_{n}$$ converge.

Me preguntaba si alguien podría darme algunas indicaciones sobre cómo empezar esto; como es una prueba if y only if, obviamente necesito considerar el caso en el que el producto infinito $b_n$ converge pero $log b_n$ no lo hace, y viceversa, pero me cuesta muchísimo hacerme a la idea de las series de productos.

Sé por una clase que $\log(x)$ es continua en $(0, \infty)$ que creo que puede ayudar a mostrar la implicación hacia adelante, pero aparte de eso estoy completamente perdido.

Answer 1

La implicación hacia delante es falsa sin el requisito adicional de que el límite $\,\prod_{k=1}^\infty b_k\,$ est estrictamente positivo. Por ejemplo $\,b_n = 1/2 \gt 0\,$ entonces $\,\prod_{n=1}^\infty b_n = 0\,$ pero $\,\sum_{n=1}^\infty \ln b_n \to -\infty\,$ .

Con esta salvedad, vamos a $\,p_n = \prod_{k=1}^n b_k\,$ y $\,s_n=\sum_{k=1}^n \ln b_k\,$ entonces lo que se puede demostrar es que $\,p_n\,$ converge a un límite distinto de cero como $\,n \to \infty\,$ sólo si $\,s_n\,$ converge. Para ello, tenga en cuenta que:

• $\;\displaystyle s_n=\ln p_n\,$ por la propiedad del logaritmo de que $\,\ln ab = \ln a + \ln b\,$ ;

• $\;\displaystyle p_n=e^{s_n}\,$ ya que el logaritmo natural y la exponencial son inversos entre sí.

$\log(x)$ es continua en $(0, \infty)$ que creo que puede ayudar a mostrar la implicación hacia delante

La intuición es correcta. Supongamos que $\,p_n\,$ converge a $\,p \gt 0\,$ es decir $\,\lim_{n \to \infty} p_n = p\,$ entonces $\,\lim_{n \to \infty} s_n\,$ $\,= \lim_{n \to \infty} \ln p_n\,$ $\, = \ln \big(\lim_{n \to \infty} p_n\big) = \ln p\,$ por continuidad de $\ln$ en $\mathbb{R}^+$ Así que $\,s_n\,$ es convergente.

La implicación inversa funciona de forma muy parecida. Supongamos que $\,\lim_{n \to \infty} s_n = s\,$ entonces $\,\lim_{n \to \infty} p_n\,$ $\,= \lim_{n \to \infty} e^{s_n}\,$ $\, = e^{\lim_{n \to \infty} s_n} = e^s\,$ por continuidad de la función exponencial, por lo que $\,p_n\,$ es convergente.