Hay un artículo en JSTOR, El árbol aleatorio continuo, I de David Aldous, que es similar a tu pregunta. Es el primero de una serie de tres artículos. Sin embargo, no parece que el árbol (o conjunto de árboles) de Aldous pueda ser el mismo que tu árbol. Tu árbol tendría valencia infinita en todas partes, porque la serie armónica diverge.
Para ampliar un poco esta respuesta alternativa estudiada por David Aldous: Supongamos que, en lugar del proceso sugerido por Ian, se toma un árbol de expansión aleatorio del grafo completo en $n$ vértices. O más propiamente, se toma el conjunto de árboles de expansión del grafo completo, y luego se intenta un límite de esos conjuntos como $n \to \infty$ . Se puede obtener un buen conjunto en ese límite buscando, para cada $k$ en el $k$ -(en el árbol) de un vértice marcado, y a continuación enviando $k$ hasta el infinito después de $n$ se envía al infinito. Entonces se obtiene un conjunto bien definido de infinitos árboles enraizados, que es esperanzadoramente lo mismo que estudia Aldous. Creo que es un modelo válido de lo que a veces se llama "el" árbol aleatorio.
Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que la raíz sea una hoja? Utilizando la fórmula de que hay $n^{n-2}$ árboles etiquetados en $n$ vértices, se puede calcular que es $1/e$ . Si configuro el árbol correctamente, entonces significaría que $1/e$ de los vértices son hojas, casi seguro.
"El" árbol aleatorio en este sentido es estadísticamente el mismo en todas partes, a cualquier tamaño finito de vecindad. Sin embargo, creo que no puede ser el mismo árbol hasta el infinito cada vez, porque contiene una cantidad infinita de datos para distinguir las muestras. Por ejemplo, el espacio entre las hojas es una cantidad infinita de datos. No soy lo suficientemente experto para llegar a esto rigurosamente, pero creo que un proceso aleatorio "invariante de traslación" que realmente te diera el mismo árbol cada vez tendría que darte un árbol aburrido con la misma valencia en todas partes. (Esto es lo que quería decir con mi broma de que sería ladrar al árbol equivocado.) Por otro lado, si se hace un conjunto de árboles "invariante de traslación", entonces podría ser "el" árbol en el sentido de que se podrían recuperar todas las estadísticas locales de todo el conjunto sólo con el promedio de una muestra típica.
Un análogo que entiendo bastante mejor es el mosaico de Penrose. Es "el" mosaico de Penrose en el sentido de que cualquier mosaico de Penrose tiene la estadística local de todos los mosaicos de Penrose. Por otro lado, hay incontables mosaicos de Penrose diferentes. (En un sentido natural, los tilings de Penrose forman una familia ergódica; provienen de una foliación de un $A_4$ -por planos paralelos).
