Voy a demostrar la afirmación por contradicción.
La hipótesis de que la topología débil $\tau_w$ en el $\infty$ -X es contable en primer lugar, equivale a decir que cada punto de $X$ tiene una base de vecindad contable. En particular para $0_X \in X$ existe un N.B. $(U_n)_n\subset\tau_w$ . Definimos la secuencia $(A_n)_n\subset\tau_w $ por $$A_n:=\bigcap_{i=1}^n U_i$$ obteniendo otra base vecinal de $0_X$ pero esta vez disminuyendo.
Es fácil demostrar que en un espacio lineal normado, cada vecindad débilmente abierta de $0$ contiene un subespacio cerrado no trivial. Por tanto, para cada $n$ , $A_n$ contiene un subespacio no trivial $Y_n$ de X, y podemos elegir un vector $y_n\in V_n\setminus\{0_x\}$ .
A continuación consideramos $x_n:=n\frac{v_n}{\lvert\lvert v_n\rvert\rvert}\in V_n$ . Debido a $\lvert\lvert x_n\rvert\rvert=n$ , $(x_n)_n$ es una sucesión no acotada, por lo que no es débilmente convergente (esto también es fácil de demostrar, demuestre el enunciado contrapositivo utilizando la incrustación canónica y el teorema de la acotación uniforme).
Por otra parte, para cualquier $\varepsilon>0$ y $\phi \in X^*$ el conjunto $$U_{\varepsilon,\phi}=\{x\in X \vert\ \lvert \phi(x) \rvert<\varepsilon\}$$ es una vecindad de $0_X$ y porque $(A_n)_n$ es una base de vecindad decreciente, existe un $N \in \mathbb{N}$ tal que $$\forall n\ge N: U_{\varepsilon,\phi}\supseteq A_n\supseteq\ V_n$$ En particular $\lvert\phi(x_n)\rvert<\varepsilon,$ desde $x_n\in V_n$ . Porque $\varepsilon$ se eligió arbitrariamente, obtenemos $\lvert \phi(x)\rvert\rightarrow0$ . También consideramos un $\phi \in X^*$ y, por tanto $x\overset{w}\rightarrow 0$ . Esto es una contradicción con lo que mostramos en el párrafo anterior.
Esto demuestra la afirmación.
