Problema de representación del libro de Serre

Question

Pregunté esta pregunta ayer sobre el planteamiento de un problema de ejercicio (Ex 2.8) del libro de Serre "Linear representations of Finite Groups" (me estoy enseñando teoría de la representación...)

Ahora que eso está solucionado, sigo atascado en el problema real: Que $\rho: G\to GL(V)$ sea una representación lineal de un espacio vectorial complejo de dimensión finita $V$ y supongamos $V = W_1 \oplus \dotsb \oplus W_1 \oplus W_2 \oplus \dotsb \oplus W_2 \oplus \dotsb \oplus W_l \oplus \dotsb \oplus W_l$ es una descomposición en representaciones irreducibles, y sea $V_i := W_i\oplus \dotsb \oplus W_i$ .

Sea $H_i$ sea el espacio vectorial de los mapas lineales $h: W_i \to V_i$ tal que $\rho_s h = h \rho_s$ para todos $s\in G$ .

Demuestra que $\dim H_i = \dim V_i / \dim W_i$ . [Pista: Utiliza el lema de Schur].

Lo que tengo hasta ahora: si $h\neq0$ entonces $h(W_i)$ debe ser una subrepresentación irreducible de $\rho$ isomorfo de $W_i$ y tal $h$ a la misma imagen forman un subespacio unidimensional por el lema de Schur. Para la descomposición explícita dada $V_i := W_i\oplus \dotsb \oplus W_i$ con $k$ sumandos, sea $h_\alpha$ envía el primer sumando al $\alpha$ -ésimo sumando. Estos $h_\alpha$ son linealmente independientes, pero no pude demostrar que abarcan...

Por favor, ¡dame algunas pistas!

Answer 1

Se le pide que calcule la dimensión del espacio vectorial $\mathrm{Hom}_G(W_i,V_i)$ de $G$ -homomorfismos de módulo de $W_i$ a $V_i$ explícitamente, consiste en mapas lineales $\phi$ de $W_i$ a $V_i$ tal que para todo $g \in G$ et $w \in W_i$ se tiene $\phi(g w)=g \phi(w)$ . La forma correcta de pensar en esto es usar el hecho de que Hom es aditivo (en ambas variables, para cualquier representación---esto es el hecho de que un mapa a una suma directa está determinado unívocamente por sus composiciones con las proyecciones, que pueden ser arbitrarias): $$\mathrm{Hom}_G(U,V \oplus W) \cong \mathrm{Hom}_G(U,V) \oplus \mathrm{Hom}_G(U,W),$$ para que $$\mathrm{Hom}_G(W_i,V_i)=\mathrm{Hom}_G(W_i,W_i \oplus \cdots \oplus W_i) \cong \mathrm{Hom}_G(W_i,W_i) \oplus \cdots \oplus \mathrm{Hom}_G(W_i,W_i) .$$ Ahora el lema de Schur implica que la dimensión de $\mathrm{Hom}_G(W_i,W_i)$ es $1$ por lo que la dimensión que buscas es el número de sumandos, es decir, el cociente. $\mathrm{dim} (V_i) / \mathrm{dim}(W_i)$ .