Si una función, por ejemplo $g(x)$ es Continua tal que,
$$ g'(x) = 2x\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} , \forall x \neq 0 $$
¿Esto $g$ sea diferenciable en $0$ ?
Mi intento: Como el $\lim\limits_{x\rightarrow 0} g'(x)$ no existe por lo tanto creo que el $g$ no será diferenciable en $0$
¿Hay alguna forma de demostrarlo o probar lo contrario? Cualquier pista será apreciada...
Para $x \neq 0$ se puede comprobar diferenciando que
$$ g(x) = \begin{cases} x^2\sin(1/x) + C & x > 0, \\ x^2\sin(1/x) + D & x < 0, \end{cases} $$
donde $C$ et $D$ son constantes reales. Ahora
$$ \lim_{x \to 0^+} g(x) = C \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to 0^-} g(x) = D, $$
por lo que para $g$ para que sea continua necesitamos $C = D$ et $g(0) = C$ . Así
$$ g(x) = \begin{cases} x^2\sin(1/x) + C & x \neq 0, \\ C & x = 0. \end{cases} $$
A continuación, podemos calcular
$$ \lim_{x \to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin(1/x)}{x} = \lim_{x \to 0} x\sin(1/x) = 0, $$
que muestra que $g$ es diferenciable en $0$ con $g'(0) = 0$ .
EDITAR mi respuesta se refiere a la pregunta si la función es continuamente diferenciable ( de clase $\bf C^1$ )
La clasificación de las funciones en estas clases es algo que harás a menudo cuando estudies análisis más avanzados. Así que esta respuesta ataca la pregunta :
Es $g$ continuamente diferenciable ?
Para que sea continuamente diferenciable lo que debemos hacer es comprobar que $g'(x)$ es continua en todas partes.
Ambos $\sin(1/x)$ et $\cos(1/x)$ oscilará entre -1 y 1 cada vez más rápido por pequeño que sea el vecindario que elijas. Por lo tanto, el primer término estará limitado por $|\pm2x|$ que se puede demostrar que se reducirá a 0, pero el segundo sólo $|\pm 1|$ .
Dependiendo de lo estricto que sea su curso, puede que quiera demostrarlo con $\epsilon-\delta$ o algún otro método, pero probablemente será sencillo hacerlo. Así que ni límite izquierdo ni derecho para $g'(x)$ existirá para $x=0$ Por lo tanto, no puede ser continua. Entonces la función es no en $\bf C^1$
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