Superficie lateral a mano

Question

Necesito encontrar la solución exacta para la superficie lateral del sólido generada al girar la región limitada por $y=x^2$ , $y=0$ , $x=0$ y $x=\sqrt 2$ alrededor del eje X.

Se me ha ocurrido mi propia solución, pero no estoy seguro de que sea la correcta.

Antes de volver a sustituir los valores, obtuve

$$ \frac\pi{16} \left( (1+4x^2)^{3/2} 2x - \frac32 \ln\sqrt{1+4x^2+2x} + x\sqrt{1+4x^2} \right) \text{ from }0\text{ to }\sqrt2$$

¿Puede alguien comprobarlo? Para mi integración por partes, establezco $u = \sec^3\theta - \sec\theta$ et $dv = \sec^2\theta d\theta$

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

No es una respuesta completa, pero puede ser un poco de ayuda:

La superficie es $\int_{x=0}^{\sqrt{2}} (2\pi y) ds = \int_{0}^{\sqrt{2}} 2 \pi x^2 \sqrt{1+(2x)^2} dx$ y el antiderivado es, según Mathematica, $$\frac{\pi}{32} \left(2 \sqrt{4 x^2+1} \left(8 x^3+x\right)-\sinh^{-1}(2x)\right).$$ La inversa de $\sinh$ puede expresarse mediante $\ln$ por lo que deberías poder compararlo con tu expresión.

Answer 2

Supongo que ya lo has hecho en tus pasos anteriores:

\[ \sigma = 2 \pi \int_0 ^ \sqrt {2} x^2 \sqrt {1+4x^2} dx \]
\[ \tan \theta = 2x \; \mathrm { y..; \sec \theta = \sqrt {1+4x^2} \]
\[ \sigma = \frac { \pi }2 \int_ {x=0}^{x= \sqrt {2}} \sec ^3 \theta \tan ^2 \theta d \theta. \]

¿Tienes una antiderivada complicada que has calculado y quieres comprobar si es correcta? ¿Por qué no ves qué pasa si tomas la derivada de la expresión anterior? Si todo está bien, deberías volver a $2\pi x^2 \sqrt{1+4x^2}$ . Me sale:

\[ d \sigma = \frac { \pi }{16} \left [ 24x^2 \sqrt {1+4x^2}+2(1+4x^2)^{ \frac 32} - \frac {3(8x+2)}{4(1+4x^2+2x)} + \sqrt {1+4x^2} + 4x^2(1+4x^2)^{- \frac 12} \right ] dx. \]

Sí, aquí hay algunos problemas. Deberían anularse más cosas. El término medio (de $\ln$ ) destaca por implicar $\sqrt{1+4x^2+2x}$ en lugar de $\sqrt{1+4x^2}$ . Estoy bastante seguro de que el $2x$ se coló bajo el radical por accidente, y el término debería ser en realidad $\ln | \sqrt{1+4x^2}+2x |$ . Si arreglo eso en tu expresión y vuelvo a derivar, obtengo

\[ d \sigma = \frac { \pi }{16} \left [ 24x \sqrt {1+4x^2}+2(1+4x^2)^{ \frac 32} - 3(1+4x^2)^{- \frac 12} + \sqrt {1+4x^2} + 4x^2(1+4x^2)^{- \frac 12} \right ] dx. \]

Ahora hay algunos términos semejantes y relacionados, pero no se cancelarán lo suficiente, porque algunos de tus coeficientes están mal. ¿Quizás desde aquí puedas encontrar tus errores?

Otras pistas:

• La antiderivada correcta en términos de $x$ nunca implica un factor de 3, a menos que cuentes el término $(1+4x^2)^{\frac 32}$ .
• Si tiene una buena antiderivada en términos de $\theta$ en lugar de volver a convertir a $x$ encontrando valores para $\tan \theta$ et $\sec \theta$ en $x=0$ et $x=\sqrt{2}$ . (En $x=\sqrt{2}$ , $\sec \theta$ es racional).
• Cuando tengas una respuesta definitiva, compárala con mi resultado $\frac{\pi}{32}\left[102\sqrt{2} - \ln\left(3+2\sqrt{2}\right)\right]$ .

Answer 3

Con $x=\frac{1}{2}\tan\theta$ et $dx=\frac{1}{2}\sec^2\theta d\theta$ , $2\pi\int x^2\sqrt{1+4x^2}dx=\frac{\pi}{4}\int\tan^2\theta\sec^3\theta d\theta$ . Ahora, dejemos que $$\begin{align} I_1&=\int\tan^2\theta\sec^3\theta d\theta \\ &=\int(\sec^3\theta-\sec\theta)\sec^2\theta d\theta \\ &=\tan\theta(\sec^3\theta-\sec\theta)-\int3\sec^3\theta\tan^2\theta-\sec\theta\tan^2\theta d\theta \\ &=\tan\theta(\sec^3\theta-\sec\theta)-3I_1+\int\sec\theta\tan^2\theta d\theta \end{align}$$ (utilizando la integración por partes como sugeriste) de forma que $I_1=\frac{1}{4}\left(\tan\theta(\sec^3\theta-\sec\theta)+\int\sec\theta\tan^2\theta d\theta\right)$ . Sea $$\begin{align} I_2&=\int\sec\theta\tan^2\theta d\theta \\ &=\sec\theta\tan\theta-\int\sec^3\theta d\theta \\ &=\sec\theta\tan\theta-\int\sec^3\theta-\sec\theta d\theta-\int\sec\theta d\theta \\ &=\sec\theta\tan\theta-I_2+\log|\sec\theta-\tan\theta| \end{align}$$ (utilizando la integración por partes con $u=\tan\theta$ et $dv=\sec\theta\tan\theta d\theta$ ) de modo que $I_2=\frac{1}{2}\left(\sec\theta\tan\theta+\log|\sec\theta-\tan\theta|\right)$ . Ahora, $$\begin{align} \frac{\pi}{4}\int\tan^2\theta\sec^3\theta d\theta &=\frac{\pi}{4}I_1=\frac{\pi}{16}\left(\tan\theta(\sec^3\theta-\sec\theta)+\int\sec\theta\tan^2\theta d\theta\right) \\ &=\frac{\pi}{16}\left(\tan\theta(\sec^3\theta-\sec\theta)+\frac{1}{2}\left(\sec\theta\tan\theta+\log|\sec\theta-\tan\theta|\right)\right) \\ &=\frac{\pi}{16}\left(\tan\theta\sec^3\theta-\frac{1}{2}\sec\theta\tan\theta+\frac{1}{2}\log|\sec\theta-\tan\theta|\right) \\ &=\frac{\pi}{16}\left(2x(1+4x^2)^{3/2}-x\sqrt{1+4x^2}+\frac{1}{2}\log\left|\sqrt{1+4x^2}-2x\right|\right) \end{align}$$ que es parecido al que tienes tú, pero no igual.

(Por supuesto, haciendo esto a mano y cubriendo una hoja de papel con garabatos para hacer las dos instancias de integración por partes por encima y por detrás, es muy posible que haya cometido algún error por el camino, pero mi resultado parece verificarse por el método descrito en respuesta de aschepler .)