Un espacio topológico (posiblemente T1) tiene un subconjunto denso que es homeomorfo al espacio entero. ¿Qué se puede decir del espacio?

Question

Sea $X$ sea un espacio topológico (posiblemente T1, es decir, los subconjuntos de un solo punto son cerrados). Supongamos que existe un correcto subconjunto $D \subset X$ tal que:

• $D$ es denso en $X$ ;
• $D$ es homeomorfo a $X$ .

¿Qué se puede decir sobre $X$ ?

Answer 1

La pregunta es terriblemente amplia; no está claro que se pueda decir mucho de interés. Por si sirven de algo, he aquí algunas observaciones y ejemplos sencillos.

La consecuencia más obvia es que $X$ debe ser infinito. También podemos ver inmediatamente que si $X$ es Hausdorff, entonces no puede ser compacto: un subconjunto propio homeomorfo a $X$ sería compacta, y puesto que $X$ es Hausdorff sería cerrado y, por tanto, no denso en $X$ . Por otra parte, cualquier espacio infinito con topología cofinita es un espacio compacto. $T_1$ ejemplo.

El primer ejemplo de Hausdorff que me viene a la mente es $\Bbb Q$ . Un ejemplo menos obvio es $X=C\setminus\{1\}$ donde $C$ es el conjunto de Cantor de tercios medios. $X$ es bien conocido que es homeomorfo a $\Bbb N\times C$ donde $\Bbb N$ tiene la topología discreta, que tiene el subconjunto denso propio $\Bbb N\times X$ . Esto a su vez es homeomorfo a $\Bbb N\times(\Bbb N\times C)$ y, por tanto, a $\Bbb N\times C$ y por tanto a $X$ .

Estos tres ejemplos son homogéneos, en el sentido de que si $x$ y $y$ son puntos cualesquiera del espacio, existe un autohomeomorfismo del espacio tomando $x$ a $y$ . Sin embargo, también hay ejemplos no homogéneos, ya que una unión discreta arbitraria (suma topológica) o un producto cartesiano de ejemplos también es un ejemplo. De hecho, en ambas construcciones basta con que uno de los sumandos o factores tenga la propiedad; esto conduce inmediatamente a una gran variedad de ejemplos.

Answer 2

Para evitar demasiados comentarios, los convertiré en una respuesta.

En primer lugar, hay muchos ejemplos de este tipo de espacios:

1. Los racionales positivos $\mathbb Q^+$ son un ejemplo. Sea $f:\mathbb Q^+\to\mathbb Q^+$ se define por $f(q)=q^2$ . Se trata de un homeomorfismo de $\mathbb Q^+$ a $f(\mathbb Q^+)$ y $f(\mathbb Q^+)$ es denso en $\mathbb Q^+$ pero $2\notin f(\mathbb Q^+)$ .
2. Para $n\geq 2$ , $\mathbb R^n$ es homeomorfo a su subconjunto denso $\mathbb R^n\setminus\{0\}^{n−1}\times[0,\infty)$ .
3. Los espacios de Banach de dimensión infinita también parecen buenos candidatos.

Estos espacios no son necesariamente Hausdorff. Tomemos cualquier conjunto infinito $X$ y dotarla de la topología trivial $\{\emptyset,X\}$ . Entonces cualquier mapa inyectivo $f:X\to X$ en un subconjunto adecuado de $X$ es un homeomorfismo sobre un subconjunto denso de $X$ .

No existe un espacio compacto de Hausdorff que satisfaga sus condiciones: $D$ tendría que cerrarse en $X$ y, por tanto, no es denso.

Esto aún deja cierto margen para compactar $T_1$ espacios que posiblemente satisfagan sus condiciones. Efectivamente, $\mathbb Z$ dotado de topología cofinita es un espacio de este tipo. Es compacto y $T_1$ y homeomorfo a $2\mathbb Z$ que es denso en $\mathbb Z$ ya que es infinito.

Si se me ocurren más ideas, las publicaré aquí.