¿Por qué calculamos el vector normal para calcular la proyección?

Question

Un primer curso de análisis complejo por Matthias Beck, Gerald Marchesi, Dennis Pixton y Lucas Sabalka Ejercicio 3.27

(Ejercicio 3.27) Consideremos el plano $H$ determinada por la ecuación $x + y -z = 0$ .

1. ¿Qué es un vector normal unitario a $H$ ?

2. Calcular la imagen de $X:=H\cap \mathbb S^{2}$ bajo la proyección estereográfica $\Phi$ .

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• Para 2, he calculado $X$ ser un círculo 3D parametrizado aquí y que su imagen sea $Y:= \Phi(X) = \{|z-(1+i)|^2 = 3\}$ pero ahora pregunto:

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Para 1, ¿Qué importancia tiene preguntar por el vector normal unitario?

He calculado que los vectores normales unitarios son $[1,1,-1]\frac{\pm 1}{\sqrt{3}}$ . Observo que sus puntos terminales están en la esfera unidad.

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Estos son los parámetros:

$Y:= \Phi(X) = \{|z-(1+i)|^2 = 3\}$ se parametriza:

$$\begin{bmatrix} y_1(t)\\ y_2(t)\\ y_3(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{3}\cos(t) + 1\\ \sqrt{3}\sin(t) + 1\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\sqrt{3}\cos(t)+ \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}\sqrt{3}\sin(t)$$

$X$ se parametriza:

$$\begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{\frac 2 3} \cos[t]\\ -\sqrt{\frac 2 4} \sin[t] - \sqrt{\frac 2 {12}} \cos[t]\\ -\sqrt{\frac 2 4} \sin[t] + \sqrt{\frac 2 {12}} \cos[t] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{\frac 1 3}\\ -\sqrt{\frac 1 {12}}\\ \sqrt{\frac 1 {12}} \end{bmatrix}\sqrt{2}\cos(t)+ \begin{bmatrix} 0\\ -\sqrt{\frac 1 {4}}\\ -\sqrt{\frac 1 {4}} \end{bmatrix}\sqrt{2}\sin(t)$$

$$H = \{x + y -z = 0\} = \{[1,1,-1] \cdot [x,y,z]=0\} = \{[1,1,-1]\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot [x,y,z]=0\}$$ se parametriza:

$$\begin{bmatrix} h_1(r,s)\\ h_2(r,s)\\ h_3(r,s) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}r + \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}s$$

Answer 1

He aquí una posible explicación. Debemos encontrar la imagen de $H\cap{\Bbb S}^2$ en $\Phi$ .

Una solución puede ser la siguiente: $$ Y\in\Phi(H\cap{\Bbb S}^2)\iff X=\Phi^{-1}(Y)\in H\cap{\Bbb S}^2 \subseteq H. $$ Esta última puede describirse mediante $ax_1+bx_2+cx_3+d=0$ donde $(a,b,c)$ es un vector normal, lo que da una ecuación para $Y$ una vez que la asignación $\Phi^{-1}$ se calcula explícitamente.

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EDIT: Lo que quiero decir es que $\Phi$ es la correspondencia $$ \Phi\colon \underbrace{(x_1,x_2,x_3)}_{X}\in{\Bbb S}^2\to \underbrace{(y_1,y_2,y_3)}_{Y}=\left(\frac{x_1}{1-x_3},\frac{x_2}{1-x_3},0\right)\in{\Bbb R}^2. $$ Es una biyección y $$ \Phi^{-1}\colon(y_1,y_2,0)\to\Big(\underbrace{\frac{2y_1}{y_1^2+y_2^2+1}}_{x_1},\underbrace{\frac{2y_2}{y_1^2+y_2^2+1}}_{x_2},\underbrace{\frac{y_1^2+y_2^2-1}{y_1^2+y_2^2+1}}_{x_3}\Big). $$ La condición necesaria y suficiente para $Y$ pertenecer a la imagen es que $X$ (en la esfera) pertenece al plano $H$ (si un punto está en la esfera, pero no en $H$ entonces no pertenece a $H\cap{\Bbb S}^2$ es decir, ortogonal al vector normal (por lo tanto, no mapeado en la imagen debido al mapeo uno a uno). $$ x_1+x_2-x_3=0. $$ Cuando sustituimos (y nos deshacemos del denominador) obtenemos el círculo $$ 2y_1+2y_2-(y_1^2+y_2^2-1)=0\iff (y_1-1)^2+(y_2-1)^2=3. $$