La función se da como: $$ f(x,y)=\begin{cases} \begin{align} e^{-\frac{1}{1-x^2-y^2}}, \ \ &\text{if }\ \ x^2+y^2<1 \\ 0 \ \ \ \ , \ \ &\text{if } \ \ x^2 + y^2 \ge 1 \end{align} \end{cases} $$ Comprobar si la función es diferenciable en $P=\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt 3}{2}\right)$ .
Algunas de mis intuiciones dicen que $f$ debe ser diferenciable en ese punto, por lo que estoy tratando de demostrar esto por definición.
He descubierto que $f(P)=0$ y $f'_x(P) = f'_y(P)=0$ . Por lo tanto, si es diferenciable, la siguiente afirmación debería ser cierta: $$f\bigg(\frac 1 2 +\Delta x, \frac{ \sqrt{3}}{2} + \Delta y\bigg)=f(P)+f'_x(P)\Delta x + f'_y(P)\Delta y + o\bigg(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\bigg) $$ que en nuestro caso se reduce a mostrar que: $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(\frac{1}{2}+x, \frac{\sqrt 3}{2} + y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$$ Ahora, ahora podemos ir a $P$ desde dentro o fuera del círculo.
- Desde fuera del círculo:
El numerador se convierte en $0$ también lo hace el límite. Hemos terminado.
- Desde dentro del círculo:
Por lo tanto, establecemos la condición $(\frac{1}{2}+x)^2 + (\frac{\sqrt 3}{2} + y)^2 < 1$ . Entonces, el límite anterior se convierte en $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\cfrac{e^{-\cfrac{1}{1-(x+1/2)^2-(y+\sqrt 3/2)^2}}}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ Ahora bien, si quisiera pasar a coordenadas polares, ¿cómo lo haría? ¿Sustituyo $(x,y) = (r\cos \theta, r\sin \theta)$ o $(x+1/2,y+\sqrt 3/2) = (r\cos \theta, r\sin \theta)$ . En ambos casos, el límite se vuelve algo feo...
Bueno, tomé la primera opción, por lo que el límite se convirtió en $$\lim_{r\to 0}\cfrac{e^{\cfrac{1}{r(\cos\theta+\sqrt 3 \sin \theta)+r^2}}}{r}$$
¿Voy por el camino correcto?
Agradecemos su ayuda.
