Un inverso para Euler ' s zeta función producto fórmula

Question

Por supuesto, Euler demostró que la Riemann zeta función puede ser definida como la continuación analítica de un producto a lo largo de todos los números primos.

$$\zeta(s) = \prod_{p \in \mathbb{P}}\frac1{1-p^{-s}}$$

Es bien sabido (pero algo que no entiendo) que las posiciones de los ceros de la función zeta permite hacer inferencias sobre el comportamiento asintótico de los números primos. Es este un fenómeno general? ¿De Euler transformar generalizar a los productos a través de otros subconjuntos de los números naturales $\mathbb{A}$?

$$\alpha(s) = \prod_{a \in (\mathbb{A} \subset \mathbb{N})}\frac1{1-a^{-s}}$$

Puede uno, entonces la inversa de Euler transformar y se derivan de la generación de subconjunto $\mathbb{A}$ completamente de la nueva función de ajuste a cero? De manera más general, ¿cómo las propiedades de la derivada de la función ceros traducir a las propiedades de la generación de subconjunto?

Y, específicamente para el estándar de Riemann zeta función, si se ha demostrado que exactamente un cero solo existía fuera de la línea crítica, ¿cuál sería su posición de decir acerca de la distribución de los números primos?

Answer 1

Contestaré a tu última pregunta por ahora. No es posible que la función de $\zeta$ tiene un solo cero la línea crítica. La ecuación funcional para la función de Riemann $\zeta$ muestra inmediatamente, que los ceros en la tira crítica son simétricos sobre la línea $\text{Re}(z)=1/2$. Por lo tanto, si hay un cero, debe haber dos. Además, $\overline{\zeta(\bar s)}=\zeta(s)$. Así que si tienes un cero, tiene cuatro.

Answer 2

Como usted ha dicho, para hablar de la "puesta a cero" de la de Riemann zeta función, uno necesita tener una continuación analítica a la izquierda de la mitad del plano- $\{\Re(s)>1\}$ en el que el producto de Euler converge. Para un conjunto genérico $A\subset{\mathbb N}$, ni siquiera está claro que el correspondiente Euler producto tiene un anlytic continuación. En este caso, las cuestiones relativas a la "puesta a cero" de la función correspondiente está mal planteado.

Usted puede buscar en la literatura relevante con los términos "Beurling de los números primos" o "generalizada de los números primos".

Answer 3

Permítanme responder a la pregunta principal, respecto a la "inversa de Euler $\zeta$ función de la fórmula del producto":

De hecho, mi respuesta a su pregunta fue parte de uno de mis propias preguntas. Siempre con las respuestas que se dan allí, usted puede conseguir el set de generación de energía o primos $\mathbb{P}$ con el siguiente procedimiento iterativo:

Supongamos el siguiente proceso:

1. Vamos a empezar con el conjunto de los números primos $\{p_k\}$
2. Luego, usamos el producto de Euler ser equivalente a la de Riemann Zeta función $$ \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{s}} = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \zeta(s). $$
3. Ahora las raíces $\rho$ $\zeta(s)$ contribuir a la Primer Función de Recuento $\pi(x)$ en la siguiente forma $$\pi(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^{\rho}) - \frac1{\ln x} + \frac1\pi \arctan \frac\pi{\ln x} , $$ con $ \operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \mu (n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n})$. (Muy bonito demostración se puede encontrar aquí.)
4. El $k$th prime $p_k$ ahora se puede calutated mediante el uso de $\pi(p_k)=k$.
5. Así que volvemos a donde empezamos: (1.) el conjunto de los números primos $\{p_k\}$ y ahora podría empezar de nuevo.

Así que no es una directa inversa, pero un tipo de proceso cíclico. Por desgracia, no tengo idea de para el caso general.