¿Podemos hallar el radio interior a partir de las medianas de un triángulo?

Question

Mi pregunta es

Tres medianas de un triángulo miden 3 cm, 4 cm y 5 cm. ¿Cuál será el radio interior de este triángulo?

¿Podemos encontrar inradio?

http://mathworld.wolfram.com/Inradius.html

Answer 1

Debido al teorema de Stewart, las longitudes al cuadrado de las medianas vienen dadas por $$ m_a^2 = \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} $$ y así sucesivamente, por lo que resolviendo las ecuaciones asociadas en términos de $a^2,b^2,c^2$ obtenemos: $$ a = \frac{2}{3}\sqrt{73},\qquad b=\frac{4}{3}\sqrt{13},\qquad c=\frac{10}{3}.$$ El radio interior viene dado por $r=\frac{2\Delta}{a+b+c}$ donde $\Delta$ puede calcularse mediante la fórmula de Heron.

Otro truco es el siguiente: el área de $ABC$ es $\frac{4}{3}$ del área del triángulo cuyas longitudes de los lados son $m_a,m_b,m_c$ Por lo tanto $\Delta=\color{red}{8}$ .