Conjunto transitivo - Ejemplo

Question

Según mis notas, un conjunto $A$ se denomina transitiva si los elementos de sus elementos son elementos de $A$ . Por ejemplo, el conjunto de los números naturales $\omega$ es un conjunto transitivo.

Además, si $n \in \omega$ entonces $n$ es un conjunto transitivo ya que $n=\{0,1,2, \dots, n-1 \}$ y si tomamos un $k \in n$ entonces $k=\{0,1,2, \dots, k-1 \}$ .

¿Podría darme un ejemplo de otro conjunto transitivo? ¿O un conjunto transitivo sólo puede contener números naturales?

Answer 1

Si $A$ es un conjunto transitivo, entonces $\mathcal P(A)$ es un conjunto transitivo. Tomemos ahora $\omega$ que es un conjunto transitivo, entonces $\mathcal P(\omega)$ es un conjunto transitivo, pero sus elementos son conjuntos de números naturales, en lugar de sólo números naturales.

Answer 2

Los números ordinales son exactamente los números transitivos y $\in$ -conjuntos bien ordenados. Por tanto, todo ordinal (incluidos los números naturales) es transitivo. Sin embargo, también existe una fuerte afirmación en sentido inverso:

Para cualquier conjunto $x$ existe un conjunto transitivo que contiene $x$ .

En particular, puesto que la intersección de conjuntos transitivos es transitiva, la intersección de todos esos conjuntos es un objeto bien definido llamado cierre transitivo $TC(x)$ y siempre es transitiva y contiene $x$ . Por lo tanto, se puede elegir cualquier no-ordinal y tomar su cierre transitivo, y este conjunto será transitivo y contendrá no-ordinales. El conjunto no ordinal más pequeño es $\{1\}=\{\{\emptyset\}\}$ Así que $TC(\{1\})$ que puede construirse explícitamente empezando por $\{\{1\}\}$ y tomando elementos de elementos (de elementos...) y añadiéndolos al conjunto, se obtiene un conjunto transitivo no ordinal.

$$TC(\{1\})=\{\{1\},1,0\}=\{\{\{\emptyset\}\},\{\emptyset\},\emptyset\}$$

He aquí un ejemplo más complicado:

\begin{align} TC(\{1,2,\{2\}\})&=\{\{1,2,\{2\}\}\}\cup\{1,2,\{2\}\}\cup\{0,1,2\}\cup\{0,1\}\cup\{0\}\cup\emptyset\\ &=\{\{1,2,\{2\}\},\{2\},2,1,0\} \end{align}