Cómo calcular $P(X=k)$ para este problema?

Question

Un vendedor de periódicos recibe $n$ periódicos todos los días a la venta. El número $X$ de artículos vendidos es una variable aleatoria que sigue la distribución de Poisson con el parámetro $\lambda.$

Me interesa la informática $P(X=k)$ que creo que debería ser: $$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} (\lambda)^k}{k!}$$ para $k=0,1,2,...,n.$ Pero se puede observar inmediatamente que las probabilidades no sumarán $1.$ Podrían si uno hiciera lo siguiente: $$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} (\lambda)^k}{k!}/\sum_{i=0}^{n}\frac{e^{-\lambda} (\lambda)^i}{i!}.$$ Pero si uno tuviera que llegar a esta expresión a partir de los primeros principios, no estoy seguro de cómo lo haría. Tal vez alguien pueda explicar cómo derivar $P(X=k)?$

Answer 1

¿No lo estás pensando demasiado?

Yo modelaría esto como $X \sim Pois(\lambda)$ es la demanda de papeles y $Y$ el número de periódicos vendidos, como igual a $Y = \min (X,n)$ . Puesto que si la demanda supera $n$ entonces vendes todo $n$ papeles, pero nada más. No estoy seguro de que tenga sentido modelar los artículos vendidos como Poisson si hay un límite en el número de artículos vendidos, pero sin duda tiene sentido modelar la demanda de artículos como Poisson, ya que es esencialmente un problema de colas.

De este modo, tendría

$P(Y = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ pour $k = 0,1,2,\dots, n-1$

Pero

$P(Y = n) = \sum_{k=n}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$