Si 0 es un punto límite de un subconjunto $A$ de $(0,\infty)$ demuestre que el conjunto de todos los $x$ en $(0,\infty)$ que puede expresarse como una suma de elementos (no necesariamente distintos) de $A$ es denso en $(0,\infty)$ . Debo demostrar que para cada número real positivo $x$ hay una secuencia en $A$ convergiendo hacia $x$ . Ayúdame con la parte de la convergencia por favor.
Respuestas
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En primer lugar, creo que te has equivocado en lo que tienes que demostrar, corrígeme si mi interpretación es errónea. Si la primera parte es correcta, entonces lo que tienes que demostrar es que para cada número real positivo $x$ hay una secuencia en el conjunto de sumas de elementos de $A$ convergiendo a $x$ . No para $A$ , $A$ no es el conjunto denso aquí, es el conjunto de las sumas de elementos de $A$ .
Lo demostraría por contradicción. Llamemos $B$ este conjunto de las sumas de elementos no necesariamente distintos de $A$ . Supongamos que $B$ no es denso, eso significa que hay un punto $x\in(0, \infty)$ sin secuencia de $B$ convergiendo hacia $x$ esto implica que existe $\epsilon > 0$ tal que $(x-\epsilon, x+\epsilon) \cap B = \emptyset$ .
Ahora, para la intuición de la prueba, el principal problema es que si se toma cada punto $y\in A$ y te llevas el conjunto $ Z = \{ y\cdot n \hspace{.2cm} | n\in \mathbb{N} \}$ sabemos que $Z$ es un subconjunto de $B$ (porque es sólo la suma de $n$ tiempos de $y$ ), y observará que cada intervalo en $(0, \infty)$ de longitud superior a $y$ tendrá intersección no vacía con $Z$ (si tienes problemas para visualizar este hecho, te recomiendo que dibujes esto $Z$ para $y=1$ y para $y=0.1$ ). La prueba de esto es simplemente construir el elemento de $Z$ en un intervalo $(a,b)$ con $a, b > 0$ suponiendo que $b-a > y$ . Este elemento puede ser $b-y = (b/y-1)\cdot y$ si $b/y$ es natural, o $\text{floor}(b/y) \cdot y$ si $b/y$ no es un número natural. En ambos casos tenemos que el elemento es menor que $b$ y mayor que $a$ y está en $Z$ debido a la definición de $Z$ .
Hay una secuencia de $A$ convergente a $0$ por lo que existe $y\in A$ con $0 < y < \epsilon$ . Toma $Z = \{ y\cdot n \hspace{.2cm} | n\in \mathbb{N} \}$ , $Z$ tiene intersección no vacía con $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ porque este intervalo tiene longitud $2\epsilon > y$ . Pero eso significa que hay un punto en $(x-\epsilon, x+\epsilon) \cap Z$ lo que contradice nuestra primera hipótesis de que $(x-\epsilon, x+\epsilon) \cap B = \emptyset$ .
Tenemos una contradicción, lo que significa que $B$ era denso.
Riley
Puntos
101
La idea básica de la prueba debería ser que uno puede acercarse arbitrariamente a cualquier real positivo $x$ porque si $0$ es un punto límite de $A$ entonces hay reales positivos arbitrariamente pequeños en $A$ . Por ejemplo, si $$A = \{10^{-n} \mid n \in \mathbb{Z}_{\geq 0} \}$$ entonces está claro que cualquier $x$ puede aproximarse mediante su expansión decimal.
Sea $x$ se dará. Consideremos las bolas abiertas $B_0(10^{-n})$ para $n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ . (Digo bolas abiertas, pero por supuesto como subconjuntos de $\mathbb{R}_{>0}$ se omiten los elementos negativos). En virtud de $0$ siendo un punto límite de $A$ hay $y_n \in B_0(10^{-n}) \cap A$ . Definir la secuencia
$$x_n = \left\lfloor \frac{x}{y_n} \right\rfloor y_n.$$
Nota $x_n$ es una suma de elementos no necesariamente distintos de $A$ es $y_n$ sumado $\lfloor x_n/y_n \rfloor$ veces. Una forma de proceder es mostrar si $y \rightarrow 0$ entonces $\lfloor x/y \rfloor \cdot y \rightarrow x$ . (Hemos terminado, como $y_n \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$ .) Alternativamente, observe $$|x_n - x| < y_n < 10^{-n} \xrightarrow{n \to \infty} 0.$$
EDIT: Debo añadir que se puede cambiar ligeramente este argumento; podría ser más limpio argumentar a favor de $\epsilon > 0$ arbitrariamente pequeño que existe una suma de elementos no necesariamente distintos de $A$ , digamos $y$ tal que $y \in B_x(\epsilon)$ . (Esto, por supuesto, dice $x$ es un punto límite del conjunto de suma de elementos no necesariamente distintos de $A$ .) Entonces toma $y = \lfloor x/z \rfloor \cdot z$ donde $z \in B_0(\epsilon) \cap A$ . La prueba anterior es básicamente ésta con $\epsilon = \epsilon_n = 10^{-n}$ en lugar de $\epsilon$ arbitrariamente pequeño.
