Separabilidad y tensor producto de campos

Question

¿Es cierto que un grado finito campo extensión $L/k$ es separable si y sólo si $L\otimes_{k}L$ es un reducido $L$-álgebra?

Seguramente la parte "si" es cierto porque si la extensión es separable, tenemos el teorema del elemento primitivo y todo sigue. Pero estoy preguntando si es cierto y cómo probar la parte "if". Gracias.

Answer 1

Deje $x\in L$ $f\in k[X]$ el polinomio mínimo de a$x$$k$. A continuación, $k(x)\subset L$ y, por tanto, $L\otimes_kL$ contiene $k(x)\otimes_kL$. Desde $k(x)\simeq k[X]/(f)$ obtenemos $k(x)\otimes_kL\simeq L[X]/(f)$. Si $x$ no es separable sobre $k$, entonces el polinomio $f$ tiene múltiples raíces en $L$, por lo que el anillo de $L[X]/(f)$ no se reduce, una contradicción.

Edit. Desde $x$ no es separable sobre $k$ tenemos $f'(X)=0$. Si $f(X)=(X-x)g(X)$$L[X]$,$f'(X)=g(X)+(X-x)g'(X)$, lo $X-x\mid g(X)$. Esto significa que $x$ es un múltiplo de la raíz de $f$ ( $L$ ), por lo $f(X)=(X-x)^th(X)$$t\ge 2$$h\in L[X]$$h(x)\ne 0$. (Eventualmente $h=1$.) A continuación,$\gcd((X-x)^t,h(X))=1$$L[X]$, así, por el Teorema del Resto Chino $L[X]/(f)\simeq L[X]/(X-x)^t\times L[X]/(h)$, y por lo tanto el anillo de $L[X]/(f)$ no se reduce.