Para un número natural $K$ Quiero elegir $n$ números pares coprimos todos ellos mayores que $K$ tal que la distancia $d$ entre el más pequeño y el más grande es mínima.
Por ejemplo, para cualquier $K$ si $n=2$ obtenemos $d=1$ .
Del mismo modo, para cualquier $K$ si $n=3$ entonces $d=2$ .
Necesito una fórmula para $d$ en función de $K$ y $n$ . No necesito saber cuáles son esos números coprimos.
Se agradece cualquier ayuda.
Una breve observación: $d$ sólo depende de $n$ .
De hecho, si puedes encontrar algunos enteros $k_1,..,k_n$ como en el problema para algunos $K$ entonces para todo $m$ los números $(\prod (k_j-k_i))^m+k_i$ también son enteros como en el problema.
En efecto, si $d| (\prod (k_j-k_i))^m+k_l$ y $d|(\prod (k_j-k_i))+k_s$ entonces, tomando la diferencia $d| k_l-k_s$ y por lo tanto $d| \prod (k_j-k_i)$ . De ello se deduce que $d| gcd(k_l, k_s)=1$ .
Ahora, eligiendo $m$ suficientemente grande, puedes crear números tan grandes como quieras.
Así que la pregunta equivale en realidad a lo siguiente: Para cada $n$ que es la menor diferencia posible entre los números mayor y menor entre $n$ ¿números coprimos?
Es evidente que $d \leq p_{n-1}$ pero se trata de un límite superior que probablemente pueda mejorarse.
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