¿Quién inventó la función gamma?

Question

¿Quién fue la primera persona que resolvió el problema de extender el factorial a argumentos no enteros?

Detlef Gronau escribe [1]: "De hecho, fue Daniel Bernoulli quien dio en 1729 la primera representación de una función interpoladora de los factoriales en forma de producto infinito, más tarde conocida como función gamma."

En cambio, en muchos otros sitios se dice que fue Leonhard Euler. ¿Puede levantarse el verdadero inventor?

[1] "¿Por qué la función gamma es como es?", de Detlef Gronau, Teaching Mathematics and Computer Science, 1/1 (2003), 43-53.

Answer 1

No tengo una respuesta completa. Como usted dice, muchas fuentes afirman que lo hizo Euler, pero Gronau da razones de peso para dudar de ello. La mejor fuente que he encontrado para esta cuestión es "La historia temprana de la función factorial" por Dutka Estoy convencido de que la valoración de Gronau es justa.

En primer lugar, resumiré la historia habitual. Kline discute esto en el capítulo 19, sección 5 de Pensamiento matemático de la Antigüedad a la Edad Moderna (que se encuentra en el volumen 2 de la edición de bolsillo), y una fuente más exhaustiva es el artículo de Davis " Integral de Leonhard Euler: Un perfil histórico de la función gamma ". Estas fuentes coinciden en que Euler resolvió el problema tras los intentos infructuosos de Stirling, D. Bernoulli y Goldbach, y que el primer registro de la solución de Euler aparece en forma de esbozo en una carta de 1729 de Euler a Goldbach. Este esbozo se amplió en cartas posteriores y se publicó en el artículo al que enlaza Kristal Cantwell (al parecer, el artículo se escribió en 1729, pero no se publicó hasta 1738). Las cartas de Euler a Goldbach comienzan en la tercera página de este pdf .

Sin embargo, Gronau cita una carta de Bernoulli que fue escrita unos días antes que la de Euler y que contiene al menos una solución parcial, contradiciendo posiblemente a Kline y Davis. El artículo de Dutka entra en más detalles y también afirma que el trabajo de Euler se vio influido por la solución anterior de Bernoulli. Sólo podría especular sobre lo que llevó a la confusión entre otros autores, y no lo haré aquí. Quizá debería mencionarse aquí (como hacen Gronau y Dutka) que Euler hizo mucho más que Bernoulli. Por ejemplo, Euler dio las primeras representaciones integrales de la función gamma.

Edita: Dado que esta respuesta es aceptada y, sin embargo, incompleta, quiero dirigir la atención a la respuesta de Bruce Arnold que figura a continuación. Contiene un enlace a una copia de la carta de D. Bernoulli citada por Gronau y Dutka, a menudo olvidada.

Answer 2

La primera persona que dio una representación de la llamada función gamma fue Daniel Bernoulli en una carta a Goldbach de 1729-10-06. La carta puede verse ici .

En notación moderna, la fórmula es la que da Gronau en el artículo citado en la respuesta:

$x! = \lim_{n\rightarrow \infty}\left(n+1+\frac{x}{2}\right)^{x-1} \prod_{i=1}^n\frac{i+1}{i+x}$

Gronau también observa que "Los experimentos numéricos muestran que la fórmula de Bernoulli converge mucho más rápidamente a su límite que la de Euler...", "la de Euler" se refiere aquí a una fórmula que Euler ha dado en una carta a Goldbach fechada 1729-10-13.

Gronau escribe: "Euler, que por aquel entonces estaba con D. Bernoulli en San Petersburgo, dio una representación similar de esta función interpoladora. Pero Euler hizo mucho más. Dio otras representaciones mediante integrales y formuló interesantes teoremas sobre las propiedades de esta función."

Aunque esto justifica el nombre de "función gamma de Euler", la representación de Euler fue históricamente sólo superada por la de Daniel Bernoulli.

La correspondencia entre Goldbach, Daniel Bernoulli y Euler, que sin duda dio origen a la función gamma, está bien documentada en la obra de Paul Heinrich Fuss "Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIeme siècle ..", St. Pétersbourg, 1843.

Answer 3

En su primera carta a Goldbach (ya enlazada en la respuesta de Jonas) Euler escribe que comunicó su interpolación de la sucesión de factoriales (o serie hipergeométrica de Wallis, como se llamaba entonces) a Daniel Bernoulli:

"Se lo comuniqué al Sr. Bernoulli, quien por su propio método llegó casi a la misma expresión final" (es la frase que empieza por "communicavi haec . . . " en la p. 4).

Answer 4

Según el artículo de Wikipedia, la cuestión de extender el factorial más allá de los números enteros fue planteada por primera vez en la década de 1720 por Daniel Bernoulli y Christian Goldbach. Euler lo resolvió por primera vez en 1729. Aquí ( Wayback Machine ) es una traducción al inglés de un artículo de Euler que contiene su solución.