Equivalencia de la cohomología de cech ordenada y desordenada.

Question

Dado un espacio topológico X y una cubierta finita X \= $\cup X_i$ se puede definir la cohomología de Cech de una gavilla de grupos abelianos F con respecto a la cubierta $\{X_i\}$ de dos maneras diferentes:

1. (Ordenada): El k-ésimo término del complejo de Cech es $\bigoplus_{i_1 < \ldots < i_k} \Gamma(X_{i_1} \cap \ldots \cap X_{i_k}, F)$ .
2. (Sin ordenar): [ ] es $\bigoplus_{i_1, \ldots , i_k} \Gamma(X_{i_1} \cap \ldots \cap X_{i_k}, F)$ .

En particular, la segunda descripción implica repetición y es distinta de cero en todos los grados. Estas dos descripciones dan cohomología isomórfica (los primeros mapas que intentes escribir serán probablemente equivalencias homotópicas).

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Pregunta : ¿Existe alguna referencia canónica para este hecho?

Answer 1

Lo escribí para mi curso de geometría algebraica como una página 2 folleto Inspirado por EGA $0_{\rm{III}}$ , 11.8.7 (lo que no quiere decir que sea una referencia canónica; sólo alguna referencia escrita...).

Answer 2

Yo diría que una referencia canónica es la obra de Roger Godement Topología algebraica y teoría de haces , §3.8, capítulo I.

Answer 3

Haré uso de la categoría $\mathcal{P}=\mathrm{Fun}(\mathrm{Open}_X^{\mathrm{op}}, \mathrm{Ab})$ de presheaves de grupos abelianos en $X$ . Se trata de una categoría abeliana con suficientes projetivos: para cualquier conjunto abierto $U$ la preforma libre $\mathbb{Z}[U]$ definido por $\mathbb{Z}[U](V)=\mathbb{Z}$ si $V\subseteq U$ y $=0$ si no, es un objeto proyectivo en presheaves.

Podemos definir dos complejos de cadenas en $\mathcal{P}$ : $$A_k = \bigoplus_{i_0<\cdots<i_k} \mathbb{Z}[X_{i_0}\cap \cdots \cap X_{i_k}], \qquad B_k = \bigoplus_{i_0,\dots,i_k} \mathbb{Z}[X_{i_0}\cap \cdots \cap X_{i_k}],$$ con un mapa de cadena evidente $\gamma\colon A_\bullet\to B_\bullet$ . Es evidente que para una gavilla $F$ los complejos $\mathrm{Hom}_{\mathcal{P}}(A_\bullet, F)$ y $\mathrm{Hom}_{\mathcal{P}}(B_\bullet, F)$ son respectivamente los complejos de Cech ordenado y desordenado de $F$ . Así pues, basta con demostrar que $\gamma$ es una equivalencia homotópica en cadena en $\mathrm{Ch}(\mathcal{P})$ ya que tales datos inducirán una equivalencia de homotopía de cadena entre las dos versiones del complejo de Cech.

Ambos $A_\bullet$ y $B_\bullet$ son complejos acotados-bajos de proyectivos en $\mathcal{P}$ por lo que basta con demostrar que $\gamma$ induce un isomorfismo en la homología. Es decir, tenemos que demostrar que $H_k A_\bullet(U)\to H_k B_\bullet(U)$ es un isomorfismo para todos los conjuntos abiertos $U$ .

Si $U$ no está contenida en ningún $X_i$ es evidente que $A_\bullet(U)\equiv 0\equiv B_\bullet(U)$ . Si $U$ está contenida en algún $X_i$ entonces se puede demostrar mediante un cálculo explícito (por ejemplo, una homotopía de cadena explícita, véase más adelante) que $$H_0A_\bullet(U)\approx \mathbb{Z}\approx H_0B_\bullet(U),\qquad H_kA_\bullet(U)\approx 0 \approx H_kB_\bullet(U),\quad k>0.$$

Para ver cómo funciona, escriba $I_U=\{i\in I\;\mid\; U\subseteq X_i\}$ donde $I$ es el conjunto de indexación (bien ordenado) de la cubierta. Vemos que cada grado de $A_\bullet(U)$ y $B_\bullet(U)$ son grupos abelianos libres: $$A_k(U)=\mathbb{Z}\bigl\{ (i_0<\cdots<i_k),\; i_j\in I_U\bigr\},\qquad B_k(U)=\mathbb{Z}\bigl\{ (i_0,\dots,i_k),\; i_j\in I_U\bigr\}.$$ De hecho, $A_\bullet(U)$ es el complejo de normalizado cadenas en el nervio del poset $(I_U, \leq)$ con orden heredado de $I$ que puede contraerse a un punto correspondiente al elemento mínimo de $I_U$ . Igualmente, $B_\bullet(U)$ es el complejo de sin normalizar cadenas sobre el nervio de la categoría $(I_U, I_U\times I_U)$ con objetos $I_U$ y un morfismo único entre cualquier par de objetos, y este nervio también se puede contraer a un punto.

(Contracciones explícitas para los complejos de cadena aumentados $A_\bullet(U)\to \mathbb{Z}$ y $B_\bullet(U)\to \mathbb{Z}$ vienen dadas por $$h_A(i_0<\cdots<i_k)=\text{$ (m<i_0<\cdots<i_k) $ if $ m\neq i_0 $, or $ 0 $ if $ m=i_0 $},$$ y $$h_B(i_0,\dots,i_k)=(m,i_0,\dots,i_k),$$ donde $m\in I_U$ es el elemento mínimo).

Answer 4

Una referencia reciente es el Corolario 5.2.4 en "Algebraic geometry and arithmetic curves" de Liu.

Sin embargo, para la prueba del paso principal (reducir de co-cadenas a co-cadenas alternas, como en el escrito de Brian Conrad) remite a "Faisceaux Algébriques Cohérents" de Serre, nº 20, Proposición 2.

Answer 5

No sé si esto está en SGA IV.5, pero es un buen lugar para buscar preguntas sobre la cohomología de Cech.

Como he descrito ici la cohomología de Cech con respecto a una cubierta es la misma que la cohomología de la gavilla en el tamiz asociado a esa cubierta. Si $\mathcal{U}$ es una cubierta de $X$ , dejemos que $R$ sea la categoría cuyos objetos son los mapas $V \rightarrow X$ ese factor a través de algún objeto en $\mathcal{U}$ . Entonces

$\check{H}^p(\mathcal{U}, F) = \varprojlim^{(p)}_{R} F = Ext^p(\mathbf{Z}_R, F)$

donde $\varprojlim^{(p)}$ es el $p$ -ésimo functor derivado $\varprojlim$ . Se puede calcular tomando una resolución proyectiva de $\mathbf{Z}_R$ . Aquí tienes dos formas de hacerlo:

$\displaystyle K_p = \sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_p} \mathbf{Z}_{U_{i_1} \cap \cdots \cap U_{i_p}}$

$\displaystyle L_p = \sum_{i_1, \ldots, i_p} \mathbf{Z}_{U_{i_1} \cap \cdots \cap U_{i_p}}$ .`

Hay que comprobar, por supuesto, que se trata efectivamente de resoluciones. (No tengo una explicación elegante de por qué son resoluciones. Lo mejor que puedo hacer es decir que estos complejos están asociados mediante la correspondencia Dold--Kan a resoluciones simpliciales de la prehoja final en $R$ .) En $Hom$ en $F$ rinde los dos complejos de Cech en cuestión.