$f'(a) <0$ basta con decir que $f$ tiene un máximo local en $a$

Question

Supongamos que tenemos una función $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ que tiene un máximo local en $a$ y $f$ es derivable en $a$ . Quiero demostrar que

1. $f'(a)\leq 0$
2. $f'(a) <0$ basta con decir que $f$ tiene un máximo local en $a$ .

Para la primera tengo esto:

Porque $f$ tiene un máximo local en $a$ existe un $\delta >0$ de modo que para cada $x \in [a,b]$ con $|x-a| <\delta$ , $f(a) \geq f(x)$ . Podemos ver que para cada $x \in [a,b]$ , $x \geq a$ . Pensé que podría concluir de esto que $f'(a)\leq 0$

Para la segunda estoy atascado. Quiero utilizar el teorema del valor medio de lagrange en [a,x] para $x \in [a,b]$ al azar. Pero parece que no puedo probarlo.

Answer 1

Si $f^\prime(a) \lt 0$ entonces existe $\delta \gt 0$ tal que

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \lt k$$ para $h \in [0,\delta)$ donde $k = \frac{f^\prime(a)}{2} \lt 0.$

Por lo tanto, para $h \in [0, \delta)$

$$f(a+h) \lt f(a) +kh \lt f(a)$$ porque $k \lt 0$ . Demostrando que $a$ es un máximo local.

Answer 2

Supongamos que $f’(a)<0$ así que $\lim_{h\to 0} ( f(a+h)-f(a) ) / h<0$ así que $$(f(a+h)-f(a))/h$$

acabará siendo inferior a $0$ ( para todos $h$ en un intervalo $(a,a+h)$ )

) .

Así que eso significaría que $f(a)>f(a+h)$ lo que implica que $f(a)$ es un máximo local en $(a,a+h)$

Tenga en cuenta que $h$ será positivo ya que $a$ es un punto límite del dominio de la función .