Consulta sobre una afirmación sobre la consecuencia de que dos ecuaciones cuadráticas tengan una raíz común

Question

He leído una respuesta (en este sitio, pero he perdido el número de la pregunta) que dice algo como lo siguiente:-

Si las ecuaciones cuadráticas F(x) = 0 y f(x) = 0 tienen una raíz común, entonces las cuadráticas son proporcionales entre sí. Es decir K[f(x)] = F(x); para alguna constante K.

Intenté "probarlo" porque esto es completamente nuevo para mí.

Para simplificar, podemos suponer que ambas ecuaciones son mónicas.

Sean p, q las raíces de F(x) = 0 y q, r las raíces de f(x) = 0 tales que q es su raíz común.

Entonces, $x^2 – (p + q) x + pq = 0$ y $x^2 – (q + r) x + qr = 0$

Reescribiendo lo anterior, tenemos

$pq = –x^2 + (p + q) x$ ..(1)

$qr = –x^2 + (q + r) x$ .(2)

[Restricciones añadidas:- p, q, r, x, x + (p + q), y x + (q + r) no son cero].

Si dejamos que $\frac {p} {r} = K$ dividiendo (1) por (2), tenemos

$\frac {–x^2 + (p + q) x} {–x^2 + (q + r) x} = \frac {p} {r} = K$

$K[–x^2 + (q + r) x] = [–x^2 + (p + q) x]$

$K[x^2 – (q + r) x] = [x^2 – (p + q) x]$

$K[x^2 – (q + r) x] + pq = [x^2 – (p + q) x] + pq$

$K[x^2 – (q + r) x] + (Kr)q = F(x)$

$ K[f(x)] = F(x)$

La prueba parece ser agradable. Tal vez alguien puede señalar lo que salió mal. Esto se debe a que el "hecho" no coincide del todo con el siguiente contraejemplo:-

1, y 2 son las raíces de $x^2 – 3x + 2 = 0$

2, y 3 son las raíces de $x^2 – 5x + 6 = 0$ tal que 2 es la raíz común.

Parece que no existe ninguna K tal que $K[x^2 – 5x + 6] = x^2 – 3x + 2$

Answer 1

Si dos polinomios mónicos $P$ y $Q$ de grado dos con coeficientes racionales comparten una raíz común, entonces esa raíz es racional o los dos polinomios son iguales. Esto se deduce del hecho de que la raíz común es también una raíz de la diferencia $P-Q$ de grado como máximo uno.

Answer 2

En primer lugar, la hipótesis enunciada al principio es errónea. El enunciado correcto sería algo así (restringido al caso de los números reales)

Supongamos que $f$ y $g$ son polinomios cuadráticos. Entonces si $f$ y $g$ tienen las mismas raíces reales (por tanto, o dos raíces reales o una raíz real repetida), existe una constante $K \neq 0$ tal que $f(x) = K g(x)$ para todos $x$

Por eso, tu prueba está viciada desde el principio, porque la afirmación no es cierta (como muestra tu ejemplo). El error en tu prueba que te permite llegar a esta conclusión es cuando escribes que $x^2 - (p+q)x + pq = 0$ y $x^2 - (q+r)x + qr = 0$ . Aquí tienes escritas un par de ecuaciones para resolver $x$ por lo que no se puede deducir nada sobre los dos polinomios para todos los valores de $x$ .

Para demostrar el resultado real, creo que debería bastar con utilizar el teorema del resto (si no sabes lo que es, el artículo de la wiki puede serte útil: http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_remainder_theorem )