Demuestra que $\left [ 0,1 \right )$ es homeomorfo a $\left ( 0,1 \right ]$ .

Question

Pregunta:

Demuestra que $\left [ 0,1 \right )$ es homeomorfo a $\left ( 0,1 \right ]$ .

Sé cuál es la definición de homeomorfismo. Sin embargo, la demostración parece requerir teoremas más avanzados.

¿Podría

Teorema: Sean X e Y espacios topológicos homeomórficos y sea $x \in X$ . Entonces existe $y \in Y$ tal que $X \setminus \left \{ x \right \}$ es homeomorfo a $Y \setminus \left \{ y \right \}$ ¿basta?

¿Puede alguien darme una pista?

Gracias de antemano.

Answer 1

Pues piensa en cómo traducirías la primera a la segunda, puedes darle la vuelta $f(x)=-x$ y luego moverlo $g(x)=1+f(x)=1-x$

Answer 2

Para responder a su segunda pregunta: No, ese teorema no es suficiente. Por supuesto, se puede obtener $[0,1)$ quitando el elemento $1$ de $[0,1]$ y, por supuesto $[0,1]$ es trivialmente homeomorfo a $[0,1]$ . Pero entonces, todo lo que te dice el teorema es que puedes quitar un elemento de $[0,1]$ de modo que se obtiene un conjunto homeomorfo a $[0,1)$ - pero eso ya lo sabías: Tomando el elemento $1$ lejos hace eso. En ninguna parte dice el teorema que $y\ne x$ . El teorema tampoco dice que exista más más de un elemento de este tipo. Y, de hecho, en el caso general puede que no exista un segundo. Considere la posibilidad de quitar $0$ de $[0,1)$ para obtener $(0,1)$ ; no hay ningún otro elemento que puedas sacar de $[0,1)$ para obtener un conjunto homeomorfo a $(0,1)$ .

La forma más fácil (y creo que, para este problema concreto, la única) de demostrar que los conjuntos son homeomorfos es construir explícitamente un homeomorfismo.

Answer 3

Basta con dibujar su producto cartesiano [0,1)x(0,1] en el plano y unir la esquina superior izquierda con la esquina inferior derecha. Ese subconjunto de su producto es una biyección continua con una inversa continua.

Razona siempre estos problemas geométricamente. No puedes sacar pruebas de la nada. Tienen que venir de alguna parte. Usa tu intuición sobre los conceptos.