Cuestión de medida de Lebesgue en subconjunto definido cuidadosamente de mostrar que es medible y $[0,1]$

Question

En mi auto-estudio, me encontré con el siguiente interesante poco de ejercicio:

Deje $A \subseteq [0,1]$ el conjunto de los números $x$ entre cero y uno en el que el dígito 3 aparece antes de que el dígito 2 en la expansión decimal de $x$. Demostrar que $A$ es medible y encontrar su medida de Lebesgue directamente.

Soy consciente de una "juegos de manos" la teoría de la probabilidad manera para el cálculo de la medida de Lebesgue de este conjunto, y a partir de ahí se puede concluir que el $A$ es medible sin ser riguroso, pero estoy buscando una prueba de que los beneficios de realizar cada una de las siguientes con suficiente rigor: la verificación de la medibles PRIMERA reclamación y, a continuación, la evaluación de la medida de Lebesgue.

Answer 1

Aquí es un boceto de la capacidad de argumentación.

Para $0\leq x\leq 1$, definir el $n$th dígito decimal función de la configuración de $d_n(x)$ a ser el resto después de dividir $\lfloor 10^n x\rfloor$$10$. Es fácil comprobar que $d_n:[0,1]\to\{0,1,\dots,9\}$ es Borel medible. Para cualquier $k\in \{0,1,\dots,9\}$ definir $T_k(x)=\inf(n\geq 1: d_n(x)=k)$ donde ponemos las $T_k(x)=\infty$ si el conjunto está vacío. Este es también un Borel medible de la función en $[0,1]$. Finalmente, se observa que el $A$ es un conjunto de Borel por $$A=\left\{ 0\leq x\leq 1: T_3(x)\leq T_2(x)\right\}.$$

También puede ver las variaciones como $$A^\prime=\left\{ 0\leq x\leq 1: T_3(x)< T_2(x)\right\}$$ o $$A^{\prime\prime}=\left\{ 0\leq x\leq 1: T_3(x)< T_2(x)<\infty\right\}$$ si ustedes insisten $x$ ha $3$ , pero no necesariamente un $2$ en su decimal de expansión, o que debe tener. Ninguna de estas variaciones en los cambios de la probabilidad, por el camino.

Answer 2

En primer lugar, usted debe especificar qué decimal de expansión a tomar cuando hay dos posibilidades. Por ejemplo. $.29999\ldots = .3$ fallará o cumplir con su criterio según el cual la expansión de la toma. En segundo lugar, se debe notar que esta realidad no importa ya que la colección de los números con que no es único decimal de expansión tiene medida cero (siendo contables) y la medida de Lebesgue es completa. Por lo tanto podemos como bien deje $A$ el conjunto de los números con un único decimal de expansión en el que un 3 aparece antes de un 2.

Ahora mostraremos que el conjunto $A$ es, de hecho, abierto (por lo tanto medible): split $[0,1]$ a $10$ subintervalos de igual longitud, por lo que un número $x$ $i$th intervalo ($0\leq i \leq 9$) iff la expansión decimal de $x$ $i$ en el lugar de las décimas (es decir,$x=.ix_{2}x_{3}\ldots$). Aviso de que los extremos de estos intervalos, todos tienen un único decimal de expansión, por lo que solo se preocupan por ellos como abrir los intervalos. El $3$rd intervalo es un subconjunto de a$A$, mientras que el $2$nd es disjunta de a $A$. Dividir cada uno de los restantes intervalos (es decir, todos menos el $3$rd y $2$nd) en 10 subintervalos de igual longitud. El $3$rd de cada uno de estos es en $A$, mientras que el $2$nd es disjunta de a $A$. De continuar, podemos ver que $A$ es una contables de la unión de estos "$3$rd" abrir los intervalos y, por tanto, está abierto.

La medida también puede ser calculada a partir de esta construcción. Dado que en cada etapa se agregar y quitar cosas de la misma medida ("$3$rd" y "$2$nd" intervalos, respectivamente), $\mu A = 1/2$ (donde $\mu$ denota la medida de Lebesgue).