Hola he intentado este problema sin éxito, ¿alguien podría ayudarme ? Deje $S =\{z \in\mathbb{C}\mid \Re (z) > | \Im (z)| \}$ y que $D$ sea el disco unitario. Encontrar todas las aplicaciones biholomorfas $\phi : S \to D$ tal que $\phi(2)= 0,\phi(3) < 0$ . Lo que sé es la existencia de aplicación biholomorfa entre $ S$ y $S\cap D$
Respuesta
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Una consecuencia del teorema del mapa de Riemann nos dice que el mapa que transforma un subconjunto simplemente conexo de $\mathbb{C}$ a otro es único hasta un automorfismo del disco (ver aquí) . Dado que ya has encontrado una solución en los comentarios, puedes verificar fácilmente su unicidad de la siguiente manera:
Un automorfismo de disco es una transformación de Moebius de la forma:
$$g(z)=\frac{az+b}{\bar{b}z+\bar{a}}, |a|^2-|b|^2=1$$
Dado que por el teorema de mapeo el mapa es único hasta automorfismos y su solución saitisfies todas las condiciones, sólo tenemos que demostrar que el único automorfismo de disco que preserva las condiciones es la identidad.
Exigir que $(g\circ\phi)(2)=0$ muestra que $b=0$ y por lo tanto $g(z)=e^{i\theta}z$ . Ahora imponente $(g\circ\phi)(3)=-\frac{5}{13}e^{i\theta}<0$ muestra que $\theta=0$ y por lo tanto el mapa que encontraste es la única solución.
