Clousure de la suma de dos subespacios de Hilbert cerrados con bases equivalentes

Question

Sea $H$ sea un espacio de Hilbert sobre $\mathbb{C}$

Sea $V$ y $U$ sean dos subespacios cerrados de $H$

Sea $\{v_m\}_{m \in \mathbb{N}} \in V$ sea una base para $V$

Sea $\{u_m\}_{m \in \mathbb{N}} \in U$ sea una base para $U$

Sabemos que $\{v_m\}_{m \in \mathbb{N}}$ es equivalente a $\{u_m\}_{m \in \mathbb{N}}$ es decir: existe un isomorfismo topológico $T : V \to U$ tal que $\forall m \in \mathbb{N}: T(v_m) = u_m$

Mi pregunta es si es cierto que: $V+U$ está cerrado

Gracias

Answer 1

Supongo que se refiere a bases ortonormales. Ningún espacio de Hilbert de dimensión infinita tiene una base de Hamel contable.

Dos espacios de Hilbert infinito-dimensionales separables cualesquiera son isométricamente isomorfos, por lo que su suposición de la existencia de un isomorfismo topológico es muy débil. Cualquier ejemplo bien conocido de dos subespacios de Hilbert separables de dimensión infinita cuya suma no sea cerrada sería un contraejemplo.

Véase La suma directa de dos subespacios cerrados de un espacio de Banach no es cerrada

Answer 2

No es necesario cerrar la suma. Considere el ejemplo siguiente aquí . Partimos de una base ortonormal $\{e_n\}_{n=1}^{\infty}$ en $\ell_2$ (digamos) y definir dos subespacios como sigue: $$M={\rm span}\{e_{2n}\}_{n=1}^{\infty},\quad N={\rm span}\{e_{2n}+\frac{e_{2n+1}}{n+1}\}_{n=1}^{\infty}$$ Un vector general en $M$ sólo tiene entradas distintas de cero en los índices pares, $(0,a_1,0,a_2,\dots)$ , y un vector general en $N$ tiene la forma $$(0,a_1,\frac{a_1}{2},a_2,\frac{a_2}{3},a_3,\frac{a_3}{3}\dots)$$ Que $M+N$ no está cerrado se demostró en la primera respuesta aceptada en el enlace anterior. Así que queda por demostrar que existe un isomorfismo topológico de $M$ a $N$ sobre la base de $M$ a la base de $N$ . Defina $T:M\to N$ por la elección obvia: $$T(e_{2n})=e_{2n}+\frac{e_{2n+1}}{n+1}$$ Entonces un vector general $(0,a_1,0,a_2,\dots)$ en $M$ se transforma por $T$ en el vector general $x=(0,a_1,\frac{a_1}{2},a_2,\frac{a_2}{3},a_3,\frac{a_3}{3}\dots)$ en $N$ . La norma de la primera de $x$ es claramente $\|x\|=(\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2)^{1/2}$ mientras que la norma del $Tx$ satisface $$\|x\|\leq \|Tx\|=\left(\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n^2}{(n+1)^2}\right)^{1/2}\leq 2\|x\|$$ Desde $\|x\|\leq\|Tx\|\leq 2\|x\|$ vemos que $T$ es un isomorfismo topológico.