¿Cuál es el estado actual de las conjeturas de Langlands sobre los campos de funciones?

Question

Mi pregunta, a grandes rasgos es, ¿qué ha pasado con la conjetura de Langlands sobre los campos de funciones? Tengo entendido que en torno al año 2000 (o quizá un poco antes), Lafforgue demostró la correspondencia entre los campos de funciones y Langlands para $GL(n)$ en toda su generalidad (demostrando todos los aspectos de las conjeturas). Desde entonces, ¿qué ha ocurrido con las conjeturas de Langlands sobre los campos de funciones y qué trabajos se han realizado en este sentido? (¿O se ha extinguido este campo tras el monumental logro de Lafforgue?).

He estado intentando pero no he encontrado una buena referencia para esto, pero dado que los campos de funciones que Langlands conjetura pueden ser definidos para todos los grupos reductores (aunque entiendo que en algún sentido, no es tan "fuerte" como lo es para $GL$ en el caso general) - ¿cuál es el estado de estas conjeturas? ¿Se han obtenido resultados parciales?

Tengo entendido que el Langlands geométrico se investiga muy intensamente hoy en día, pero considero que el Langlands geométrico es ligeramente diferente (aunque sea un análogo de la correspondencia Langlands de campos de funciones - de la lectura del artículo de Frenkel sobre el Langlands geométrico, mi impresión no fue que el Langlands geométrico encapsula toda la información de las conjeturas Langlands de campos de funciones), y estoy preguntando qué trabajo se ha hecho desde entonces específicamente sobre el Langlands de campos de funciones. ¿O estoy malinterpretando las cosas y las conjeturas geométricas de Langlands en realidad encapsulan también toda la información de las conjeturas de Langlands sobre campos de funciones?

Tengo entendido que el Lemma Fundamental ha sido demostrado recientemente, y que Lafforgue está haciendo algunas cosas relacionadas con la functorialidad de Langlands actualmente. Aquí hay un hilo relacionado con la functorialidad de Langlands: ¿Cuál es la situación de la functorialidad en 2009? .

Answer 1

(1) En cuanto a la relación entre Langlands geométrico y Langlands de campo funcional: Típicamente, la investigación en Langlands geométrico tiene lugar en el contexto de una ramificación bastante restringida (en todas partes no ramificada, o tal vez una estructura de nivel Iwahori en un número finito de puntos). Hay investigaciones en algunas circunstancias que implican una ramificación salvaje (que es más o menos lo mismo que un nivel superior al Iwahori), pero creo que por el momento no existe un programa definitivo en esta dirección.

Además, el resultado de Lafforgue trataba de construir repeticiones de Galois adjuntas a formas automórficas. Dado esto, la otra dirección (de reps. de Galois a formas automórficas), se sigue inmediatamente, vía teoremas inversos, la teoría de las constantes locales y la teoría de Grothendieck de las formas automórficas. $L$ -funciones en la configuración del campo de funciones.

Por otro lado, gran parte del trabajo en el entorno geométrico de Langlands consiste en pasar de los sistemas locales (la encarnación geométrica de una rep. de Galois no ramificada en todas partes) a las laminillas automórficas (la encarnación geométrica de una eigenforma de Hecke automórfica) --- por ejemplo, el trabajo de Gaitsgory, Mirkovic y Vilonen en el $GL_n$ hace esto. No sé cuánto se en el entorno geométrico sobre ir hacia atrás, desde las láminas automórficas a los sistemas locales.

(2) En cuanto a la situación de la función campo Langlands en general: es importante, y abierto, que no sea en el $GL_n$ caso de Lafforgue, y otros casos especiales. (Como en el ámbito de los campos numéricos, se conocen muchos casos especiales, pero están lejos del problema general de la functorialidad. Langlands escribe en las notas de su obras completas que "no creo que se haya hecho todavía mucho más allá del grupo $GL(n)$ ''.) Langlands ha iniciado un programa llamado Más allá de la endoscopia para abordar la cuestión general de la functorialidad. En el caso de los campos de números, parece depender de problemas desconocidos (y aparentemente fuera de alcance) de la teoría analítica de números, pero en el caso de los campos de funciones hay alguna posibilidad de abordar estas cuestiones geométricamente en su lugar. Se trata de un tema de investigación en curso.