Me piden que demuestre que $\mathbb{A}^n$ es birracional a $\mathbb{P}^n$ . Sé que debo encontrar una función racional cuya inversa sea también una función racional. Pero no tengo ni idea de por dónde empezar. Tal vez sea porque me cuesta creer que este resultado sea cierto. Esto es porque sé que $\mathbb{A}^n$ es birracional a $\mathbb{P}^{n}$ con una de las coordenadas fijada como $1$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usted menciona que $\mathbb{A}^n$ es birracional a cualquiera de los subconjuntos $U$ de $\mathbb{P}^n$ obtenido fijando una coordenada en 1, por ejemplo $$U = \{[x_0:x_1:\cdots:x_{n-1}:1]: x_i\in k\}]\subset \mathbb{P}^n$$ donde $k$ es el campo sobre el que estamos trabajando. De hecho, son isomorfo no sólo birracional: el mapa habitual $\mathbb{A}^n\to U$ dado por $(x_0,\ldots,x_{n-1})\mapsto [x_0:\cdots:x_{n-1}:1]$ es un isomorfismo. Por la definición que diste, esto define un mapa racional $\phi:\mathbb{A}^n\dashrightarrow\mathbb{P}^n$ (componiendo con el mapa de inclusión $U\hookrightarrow \mathbb{P}^n$ ). A ver si puedes escribir un mapa racional de $\mathbb{P}^n$ a $\mathbb{A}^n$ que es un inverso de $\phi$ .
