Producto truncado de $\zeta(1)$ ?

Question

Esta es mi primera pregunta. Apareció mientras resolvía un problema de investigación en criptografía. Soy estudiante de informática, así que pido disculpas por la falta de rigor matemático en esta pregunta. Gracias por cualquier ayuda.

Consideremos la función zeta de Riemann en s = +1. Diverge, pero la expresión de la función es $\zeta(1) = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i}$ cuya suma truncada son los $n$ -ésimo número armónico, $\mathcal{H}(n)$ .

La pregunta es, ¿qué le parece la expresión $\zeta(1) = \lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{\textrm{primes } p_i \leq n} \frac{1}{1-p_i^{-1}}$ . es el valor del producto truncado $\mathcal{H}(n)$ ¿también?

Mis simulaciones para valores grandes de $n$ me dice que es alguna función de $\log n$ (por ejemplo, comparando la relación de la función para $n$ y $n^2$ y $n^3$ etc.) ¿Cómo podemos demostrarlo?

En resumen, ¿cuál es el valor de $\prod_{\textrm{primes } p_i \leq n} \frac{1}{1-p_i^{-1}}$ ? Gracias

Answer 1

Fórmula (8) en esta página da el resultado

$$\prod_{p \le n} \frac1{1-p^{-1}} = e^\gamma \log n \,(1 + o(1)).$$

Answer 2

Nótese que, asintóticamente, $\mathcal{H}(n)\simeq \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} + O(n^{-2})$ . En otras palabras, ambas expresiones divergen como $\ln(n)$ pero no exactamente de la misma manera.

Answer 3

Echa un vistazo

J. Barkley Rosser y Lowell Schoenfeld Fórmulas aproximadas para algunas funciones de números primos, especialmente el teorema 7.