Perpetuum Mobile

Question

En 2 horas después de publicar esto, me di cuenta de que preservar la medida de Liouville resuelve el problema por completo. Perdón por molestar...

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Construcción de perpetuum mobile: Consideremos una habitación con paredes de espejo formada por dos arcos de dos elipses con focos comunes y dos segmentos de una perpendicular bisectriz para los focos como en la figura:

Coloca cuerpos de un punto con la misma temperatura en cada foco --- irradian y

• Todos los rayos del foco azul llegan al rojo.

• Gran parte de los rayos procedentes del foco rojo vuelven a él (son todos los rayos que se reflejan en la bisectriz), mientras que el resto se dirige al foco azul.

Así, el foco rojo se calienta más que el azul; es decir, tenemos un máquina de movimiento perpetuo de segundo tipo ...

Preguntas:

• ¿Por qué exactamente no funciona? Mi conjetura es: si en lugar de un punto-cuerpos que tenemos cuerpos con tamaño real (no importa cuán pequeño) ya no funcionará, pero soy demasiado perezoso para hacer cálculos, y yo también debe ser una buena explicación (sin cálculos).

• Para los que piensen que no son matemáticas, he aquí la formulación matemática: Supongamos que en lugar de cuerpos de un punto tenemos cuerpos muy pequeños de forma arbitraria. Entonces la física nos dice que ya no debería funcionar. PERO no veo prueba matemática de ello...

Comentario:

• Conozco esta construcción por Vladimir Troitsky. Una construcción similar (pero no tan elegante) aparece en un comentario sobre el Brain Teaser en el número de septiembre de 1972 de Physics Education (página 414). (¿tal vez antes?) --- gracias a Scott Carnahan por la referencia. En la página 446, hay una "solución", sólo dice que "no funcionaría debido a los tamaños finitos de [los cuerpos]" . Al año siguiente (junio de 1973, p.292) se publicó en la misma revista una carta con una explicación mejor, esta "explicación mejor" dice a grandes rasgos que no funciona por una "ley bien establecida".

Answer 1

Creo que el tamaño finito es una pista falsa; con fuentes/sumideros y partículas ideales sigue sin "funcionar".

Planteamiento incorrecto: el 100% de los rayos procedentes del foco azul van al rojo; el 80% de los rayos procedentes del foco rojo van al azul; 100% > 80%; por tanto, desequilibrio. Incorrecto porque debemos fijarnos en números absolutos, no en porcentajes, cuando decimos que el flujo del azul al rojo debe ser igual al flujo del rojo al azul.

Planteamiento incorrecto: Inicialmente ambos focos emiten 100 partículas, y durante un periodo de tiempo épsilon, 100 partículas pasan del azul al rojo, pero sólo 80 pasan del rojo al azul. Hasta aquí cierto, pero planteamiento Incorrecto porque las trayectorias no son todas de la misma longitud por lo que los tiempos de recorrido no son todos iguales. Cuando todos los caminos están igualmente llenos de partículas, el número que llega a cada foco será el mismo.

Enfoque correcto: El camino corto tarda T1 unidades de tiempo en recorrerlo; el camino largo tarda T2. En equilibrio, durante un período de tiempo épsilon, 100 partículas saldrán del azul, de las cuales la fracción que golpeó el espejo de curvatura más cerrada llegará al rojo después de T1, y la fracción que golpeó el espejo de curvatura más larga llegará al rojo después de T2. Durante el mismo tiempo, 100 partículas saldrán del rojo; una fracción de ellas irá al azul en el tiempo T1, y una fracción volverá al rojo en el tiempo T2. Me da pereza calcularlo todo ahora mismo, pero ese es el planteamiento correcto.