Ejercicio sobre polinomios complejos

Question

Sea $K \subset \Bbb C $ convexo y $F_K= \{P:P(z)\in K, z\in D(0,1) \}$ donde P es un polinomio. Si $\hat{P_n}$ es el coeficiente de $z^n$ para $P \in F_K$ entonces $_n = \{ \hat{P_n}: P\in F_K \}$ .

Demuestra que $_1=_2=_3=...$

¿Puede ayudarme? Estoy atascado

Answer 1

Toma un $c \in Λ_1 $ y $n \in \Bbb N$ .

Existe un polinomio $P \in F_K$ para que $P(z)=a_kz^k+...+cz+α_0$

Por cada $z\in D(0,1)$ sabemos que $z^n \in D(0,1)$ .

Por lo tanto, si $Q(z)=P(z^n)$ entonces $Q \in F_K$ y $c=\hat{Q_n}$ y así $Λ_1 \subset Λ_n$

Si $c\inΛ_n$ y $ρ=e^{\frac {2πi}n}$ entonces para $Q(z)= \frac 1n(P(z)+P(ρz)+P(ρ^2z)+...+P(ρ^{n-1}z))$ tenemos que $Q \in F_K$ porque si $z \in D(0,1)$ entonces $ρz,...,ρ^{n-1}z \in D(0,1)$ y luego $Q(z)$ sería una combinación convexa de elementos de $K$

Si $λ\in \{0,1,...,k\}$ entonces $\hat{Q_λ}= \frac {\hat{P_λ}}n(1+ρ^{2λ}+...ρ^{(n-1)λ})$

Si $λ=mn,$ para algunos $m\in \Bbb N$ entonces $\hat{Q_λ}=\hat{P_λ}$

Si no, entonces $\hat{Q_λ}=0$

Esto significa que $Q(z)=\hat{P_0}+\hat{P_n}z^n+\hat{P_{2n}}z^{2n}+...+\hat{P_{ln}}z^{ln}=A(z^n)$

Por cada $z\in D(0,1)$ existe un $w\in D(0,1)$ para que $w^n=z$

Ahora tenemos que $A(z)=A(w^n)=Q(w)\in K$ lo que significa que $A\in F_K$ y $c=\hat{P_n}=\hat{A_1}\in Λ_1$ así $Λ_n \subset Λ_1$