А generalización del teorema de Gromov sobre el crecimiento polinómico.

Question

Estaba seguro de que se sabe, pero parece ser un problema abierto (véase la respuesta de Terry Tao).

Supongamos para un grupo $G$ hay un polinomio $P$ tal que dado $n\in\mathbb N$ hay un conjunto de generadores $S=S^{-1}$ tal que $$|S^n|\leqslant P(n)\cdot|S|\ \ (\text{or stronger condition}\ |S^k|\leqslant P(k)\cdot|S|\ \text{for all}\ k\le n) .$$ Entonces $G$ es virtualmente nilpotente (o equivalentemente tiene crecimiento polinómico).

Observaciones:

• Tenga en cuenta que normalmente, $|S|\to \infty$ como $n \to\infty$ (de lo contrario se deduce fácilmente del teorema de Gromov original).

• Si se conoce, entonces se obtendría una prueba teórica de grupos de que las variedades con curvatura de Ricci casi no negativa tienen un grupo fundamental virtualmente nilpotente (véase Kapovitch--Wilking, "Estructura de los grupos fundamentales..." ). Esta prueba utilizaría sólo un resultado en dif-geometría: La desigualdad Bishop--Gromov.

Edita: La respuesta real es "Hecho ahora": arxiv.org/abs/1110.5008 " --- es un comentario a la respuesta aceptada. (Referencia publicada: E. Breuillard, B. Green, T. Tao. La estructura de los grupos aproximados. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 116 (2012), 115-221. Enlace bajo el muro de pago de Springer )

Answer 1

Mi papel con Shalom resuelve la cuestión cuando $S = S_n$ se sabe que tiene un tamaño polinómico en n (y tal vez se le permite crecer un poco más rápido que esto, algo así como $n^{(\log \log n)^c}$ más o menos), pero dudo que el resultado se conozca todavía si se permite que S sea arbitrariamente grande.

Nótese que incluso el caso acotado no es trivial - no es obvio por qué teniendo $|S_n^n| \leq n^{O(1)} |S_n|$ implica un crecimiento polinómico. (No hay ninguna razón por la que el crecimiento tenga que ser uniforme para una cardinalidad fija de generadores; por ejemplo, creo que es un importante problema abierto (¿debido a Gromov?) si el crecimiento exponencial es lo mismo que el crecimiento exponencial uniforme para grupos finitamente generados).

Si tuviéramos un buen teorema de Freiman no conmutativo, entonces posiblemente se podría resolver tu pregunta afirmativamente (observa a partir del principio de encasillamiento que si $|S_n^n| \leq n^C |S_n|$ para algún n grande, entonces existe un intermedio $m=m_n$ entre 1 y n tal que el conjunto $B := S_n^m$ tiene una pequeña duplicación, en el sentido de que $|B^2| = O(|B|)$ ). El mejor resultado en esta dirección para grupos generales actualmente es debido a Hrushovski que sí demuestra que los conjuntos de doblamiento pequeño contienen alguna estructura vagamente "virtualmente nilpotente", pero aún no es suficiente para dar el teorema de Gromov, por no hablar de la generalización que mencionas más arriba. Se sabe más si ya se tiene alguna estructura adicional sobre el grupo (por ejemplo, si tiene una representación lineal fiel de dimensión acotada, o si ya se sabe que es virtualmente resoluble).