Matriz con alguna restricción en los coeficientes

Question

Sea $A \in \mathbb{R}^{n\times m}$ sea una matriz que cumpla la siguiente propiedad: $$ a_{ij} - a_{ik} = a_{hj} - a_{hk}, $$ para cada $i,h = 1, \dots, n$ y cada $j, k = 1, \dots, m$ .

Pregunta Qué puedo decir sobre $A$ ? Sé que es una pregunta bastante vaga, pero me gustaría entender mejor qué tipo de matrices satisfacen la propiedad anterior.

Lo único que noto hasta ahora es que la diferencia entre dos filas cualesquiera $A_i = (a_{i1}, \dots, a_{im})$ y $A_j = (a_{j1}, \dots, a_{jm})$ es un vector constante $(k, \dots, k)$ para alguna constante $k$ que depende de $i$ y $j$ . Del mismo modo, la diferencia entre dos columnas cualesquiera es un vector constante. A partir de esto, es fácil ver que el rango de $A$ es como máximo 2.

¿Hay algo más que pueda decir y que haya pasado por alto?

Answer 1

Como usted ha señalado, $A$ tiene rango como máximo $2$ . De hecho, podemos obtener una buena factorización de rango de $A$ .

Me centraré en el caso de que $A$ tiene exactamente el rango $2$ (es decir, sus filas no son constantes). Sea $k_{i}$ denota la constante tal que $A_i - A_1 = (k_i,\dots,k_i)$ . Sea $e$ denotan el vector fila $e = (1,\dots,1)$ . Entonces podemos escribir $A = CF$ donde $$ C = \pmatrix{1&0\\1&k_2\\ \vdots & \vdots \\ 1 & k_n},\quad F = \pmatrix{A_1\\ e} = \pmatrix{a_{11} & \cdots & a_{1m}\\1 & \cdots & 1}. $$

---

Esto conlleva algunas consecuencias agradables. Si queremos los valores singulares de $A$ entonces sabemos por su rango que $A$ tiene cero como valor singular con multiplicidad al menos $n-2$ . Además, por el hecho de que $A^TA = F^TC^TCF$ podemos concluir que sus valores singulares distintos de cero son las raíces cuadradas de los valores propios de la matriz $$ (C^TC)(FF^T) = \pmatrix{n & \sum_i k_i \\ \sum_i k_i & \sum_i k_i^2} \pmatrix{\sum_i a_{1i}^2 & \sum_i a_{1i}\\ \sum_i a_{1i} & n}. $$

Si $A$ es cuadrado, entonces sabemos por su rango que tiene $0$ como un valor propio con multiplicidad al menos $n-2$ . Sus valores propios no nulos deben ser iguales a los valores propios de $$ FC = \pmatrix{\sum_{i=1}^n a_{1i} & \sum_{i=2}^n a_{1i}k_i\\ n & \sum_{i=2}^n k_i}. $$