resolver: $\int \frac{e^x+1}{e^x-1}dx$

Question

Resolver: $$\int \frac{e^x+1}{e^x-1}dx$$ Intenté $$\int \frac{e^x}{e^x+1}dx+\int \frac{1}{e^x-1}dx$$ Pero no puedo calcular la segunda parte

Answer 1

Como alternativa, puede señalar que $$\frac{1}{e^x-1}=-\frac{e^{-x}}{e^{-x}-1}$$ de modo que si establece $u=e^{-x}-1$ obtienes $du=-e^{-x}dx$ y así $$\int\frac{dx}{e^x-1}=\int\frac{-e^{-x}dx}{e^{-x}-1}=\int\frac{du}{u}.$$ El resto es fácil.

Answer 2

Para la segunda parte $u=e^x-1$ entonces $du=e^x \,dx=(u+1) \,dx$ . Así que $dx=du/(u+1)$ . Entonces

$$\int\frac{1}{e^x-1}\,dx=\int\frac{1}{u(u+1)}\,du = \int \frac{1}{u}-\frac{1}{u+1} \, du$$

¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 3

Si $u = e^x$ entonces $du = e^x \, dx$ así que $dx = du/u$ . Esto da

$$ \int \frac{1}{u(u - 1)} \; du = \int \left( \frac{1}{u-1} - \frac1u \right) \, du. $$

Answer 4

$$\frac{e^x+1}{e^x-1}.\frac{e^{-x/2}}{e^{-x/2}}=\frac{e^{x/2}+e^{-x/2}}{e^{x/2}-e^{-x/2}}=\frac{\cosh(\frac{x}{2})}{\sinh(\frac{x}{2})}$$ así que $$\int \frac{e^x+1}{e^x-1}dx=\int \frac{\cosh(\frac{x}{2})}{\sinh(\frac{x}{2})}dx=2\log(\sinh(\frac{x}{2}))+C$$

Answer 5

Otra forma de hacerlo: considere $f:D\to \mathbb{R}, f(x)=e^x-1$ ( $D$ es el intervalo sobre el que estás calculando esa integral indefinida). Entonces $f'(x)=e^x, \forall x\in D$ y tenemos que $$I=\int \frac{2f'(x)-f(x)}{f(x)}dx=2\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx-\int dx=2\ln|f(x)|-x+C=2\ln|e^x-1|-x+C$$
El propósito de mi post es mostrar un truco que se puede utilizar para calcular algunas integrales más difíciles.