Cuanto es

Question

Existe una forma cerrada para

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(kn)!}$$

¿en términos de k y otras funciones? Lo mejor que he podido hacer es resolver el caso donde $k=1$, ya que la suma es sólo la infinita serie de $e$. Me imagino que cualquier forma cerrada debe involucrar a la función exponencial, pero estoy en una pérdida para probarlo.

Answer 1

Si $(c_n)$ es cualquier secuencia con período de $k$ (es decir,$c_{n+k}=c_n$), entonces es posible evaluar $\sum c_n/n!$ el uso de trucos que implican $k$-th raíces de la unidad.

Deje $\omega=e^{2\pi i/k}$. Considere la posibilidad de la $k$ secuencias

$s_0:1,1,1\dots$

$s_1: 1, \omega,\omega^2,\omega^3,\dots$

$s_2: 1, \omega^2,\omega^4,\omega^6,\dots$

$s_3: 1, \omega^3,\omega^6,\omega^9,\dots$

...

$s_{k-1}: 1, \omega^{k-1},\omega^{2(k-1)},\dots$.

El uso de trucos de forma análoga a encontrar los coeficientes de Fourier se puede encontrar$a_0,\dots a_{k-1}$, de modo que $$(c_n)=a_0(s_0)+\dots+a_k(s_{k-1}).$$

Por lo tanto $$\sum\frac{c_n}{n!}=\sum_{j=0}^{k-1}a_j\sum_n\frac{\omega^{jn}}{n!} =\sum_{j=0}^{k-1}a_je^{\omega^j}.$$

Si usted hace que para la secuencia consigue $$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(kn)!}=\frac1k\sum_{j=0}^{k-1}e^{\omega^j}.$$

Edit: Thomas Andrews hace un comentario que me han incluido: Desde la suma original es real, se deduce que el $$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(kn)!}=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}e^{\cos 2\pi j/k}\cos(\sin2\pi j/k).$$

Edit: Si uno está familiarizado con el "resumen de análisis armónico", a continuación presentamos el análisis armónico en compacto abelian grupos, uno ve que esos "trucos análoga a encontrar los coeficientes de Fourier" son, de hecho, encontrar los coeficientes de Fourier para una función determinada en el grupo $\Bbb Z/k\Bbb Z$.

Answer 2

Se trata de un enfoque diferente a la idea de la respuesta de David Ullrich.

---

Mientras el $\frac nk\not\in\mathbb{Z}$, $$\begin{align} \sum_{j=0}^{k-1}e^{2\pi ij\frac nk} &=\frac{e^{2\pi in}-1}{e^{2\pi i\frac nk}-1}\\ &=0 \end {alinee el} $$ si $\frac nk\in\mathbb{Z}$, entonces $$\begin{align} \sum_{j=0}^{k-1}e^{2\pi ij\frac nk} &=\sum_{j=0}^{k-1}1\\ &=k \end{alinean} así $$ $$\begin{align} \sum_{n=0}^\infty\frac1{(kn)!} &=\sum_{n=0}^\infty\overbrace{\left(\frac1k\sum_{j=0}^{k-1}e^{2\pi ij\frac nk}\right)}^{1\iff\frac nk\in\mathbb{Z}}\frac1{n!}\\ &=\frac1k\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(e^{2\pi ij/k}\right)^n}{n!}\\ &=\frac1k\sum_{j=0}^{k-1}e^{\large e^{2\pi ij/k}}\\ &=\frac1k\sum_{j=0}^{k-1}e^{\cos(2\pi j/k)+i\sin(2\pi j/k)}\\ &=\frac1k\sum_{j=0}^{k-1}e^{\cos(2\pi j/k)}\left(\cos(\sin(2\pi j/k))+i\sin(\sin(2\pi j/k))\right)\\ &=\frac1k\sum_{j=0}^{k-1}e^{\cos(2\pi j/k)}\cos(\sin(2\pi j/k)) \end {Alinee el} $$ sigue el último paso desde las partes imaginarias de lo $j$ y $k-j$ términos cancelación.