¿Cómo se gestiona la probabilidad condicional en mecánica cuántica?

Question

En la teoría ordinaria de la probabilidad, la probabilidad condicional se define en términos de las probabilidades conjuntas y marginales. En concreto, si la probabilidad conjunta de dos variables es $\mathcal{L}(x,y)$ la probabilidad marginal de $x$ es $\mathcal{L}(x) \equiv \int \mathcal{L}(x,y) \operatorname{d}y$ y la probabilidad condicional queda definida por $$\mathcal{L}(y|x) = \frac{\mathcal{L}(x,y)}{\mathcal{L}(x)}.$$

En mecánica cuántica, las probabilidades/probabilidades se definen en términos de amplitudes de probabilidad por el cuadrado absoluto de las amplitudes. ¿Existe una relación análoga para una amplitud de probabilidad condicional? Concretamente, digamos que tenemos una función de onda conjunta de las variables $x$ y $y$ , $\Psi(x,y)$ . Podemos definir una amplitud condicional mediante las siguientes relaciones: \begin{align} \psi(x) & \equiv \sqrt{ \int |\Psi(x,y)|^2 \operatorname{d}y} \\ \psi_c(y|x) & \equiv \frac{\Psi(x,y)}{\psi(x)}. \end{align}

Hay que admitir que existe una ambigüedad en la función de fase que es, estrictamente, permisible. Es decir, transformando las amplitudes marginales y condicionales por $\psi(x) \rightarrow \psi(x) \mathrm{e}^{i \alpha(x)}$ y $\psi_c(x) \rightarrow \psi_c(x) \mathrm{e}^{-i \alpha(x)}$ para cualquier función $\alpha(x)$ no cambia las probabilidades previstas.

Supongo que la cuestión no es tanto si tales cantidades pueden definirse, porque obviamente acabo de definirlas. Tengo más curiosidad por saber si se han utilizado.

Answer 1

Sí, las probabilidades condicionales se estudian en mecánica cuántica, especialmente desde una perspectiva informacional cuántica. El aspecto más complicado e interesante es que, debido a la naturaleza de la mecánica cuántica, resulta crucial tener en cuenta también las opciones de medición cuando se trata de condicionales. Dos áreas que me vienen a la mente en las que este tipo de cosas se estudian a fondo son los protocolos de no localidad y la discordia cuántica.

Nada nuevo fijar las bases de medición

Si no se juega con bases de medida, entonces QM no ofrece nada nuevo. Podemos definir marginales y probabilidades condicionales exactamente como lo hacemos clásicamente. Dado cualquier estado bipartito, una vez fijada una elección de bases de medida, nos queda una distribución de probabilidad $p(a,b)$ que da la probabilidad de encontrar los dos resultados de la medición $a$ y $b$ . Podemos escribir esto como $$p(a,b)=|\langle a,b|\Psi\rangle|^2,$$ para una elección adecuada de la base de cálculo. A continuación, puede definir los marginales y condicionales como $$p(a)= \sum_b |\langle a,b|\Psi\rangle|^2, \qquad p(b|a)=p(a,b)/p(a).$$ Aquí no ocurre nada nuevo.

Jugar con las bases de medida

Estados condicionales

Digamos que Alice y Bob comparten un estado cuántico (puro) $|\Psi\rangle$ . Este es por definición un estado bipartito, por lo que algo de la forma $$|\Psi\rangle=\sum_{ij} c_{ij}|i\rangle\otimes|j\rangle$$ para unos coeficientes complejos $c_{ij}$ y elección de bases para Alice y Bob (digamos que Alice está representada por los kets de la izquierda y Bob por los de la derecha).

Se puede hablar entonces del estado condicional en el lado de Bob, condicionado a lo que Alice haya hecho en su lado. Esta es la principal diferencia entre QM y la teoría de la probabilidad estándar: las observaciones no pueden (en general) describirse diciendo simplemente que los resultados $(a,b)$ ocurrirá con cierta probabilidad $p(a,b)$ hay que tener en cuenta las opciones de medición de Alice y Bob.

Si Alice no hace nada por su parte, o equivalentemente si no le dice nada a Bob sobre lo que ha hecho, entonces el estado de Bob viene dado efectivamente por $\mathrm{Tr}_A[\mathbb P_\Psi]$ donde estoy usando la notación abreviada $\mathbb P_\phi\equiv|\phi\rangle\!\langle\phi|$ . Explícitamente, esto significa que el estado de Bob (desde su punto de vista) es $$\rho^B \equiv \mathrm{Tr}_A[\mathbb P_\Psi]= \sum_{jj'}\Big(\sum_i c_{ij}\bar c_{ij'}\Big)|j\rangle\!\langle j'|.$$ Esto significa que $\rho^B$ captura la máxima cantidad de conocimiento que Bob puede esperar obtener sobre su estado, a falta de que Alice le diga algo sobre lo que hizo/encontró en el suyo. Si el estado inicial no era puro, digamos que empezamos con algún $\rho_\Psi$ en lugar de $|\Psi\rangle$ obtendríamos un resultado similar, modulo $\mathbb P_\Psi$ sustituyéndose por $\rho_\Psi$ .

Por otro lado, supongamos que Alicia decide realizar alguna medición $x$ sobre su estado, y observa un resultado de medición $a$ . Esto nos dice entonces algo sobre el estado de Bob, que ahora será algún $\rho_{a|x}$ que podemos escribir como $$\rho_{a|x} = p(a|x)^{-1}\mathbb P[(\Pi_{a|x}\otimes I)|\Psi\rangle], $$ donde $\Pi_{a|x}$ se proyecta sobre la combinación medida/resultado encontrada por Alice, y $p(a|x)$ es una constante de normalización para garantizar que obtenemos un estado (que en este caso también es igual a la probabilidad de que Alicia encuentre el resultado $a$ al medir $x$ de ahí la notación).

El estudio de este tipo de situaciones da lugar a todo tipo de protocolos de comunicación posibles, dependiendo de las particularidades del tipo de conocimiento que se comparta, etc. Véase, por ejemplo esta revisión de la dirección cuántica (que es también de donde saqué parte de la notación utilizada aquí, véase el capítulo II).

La no localidad de Bell

Escenarios de campana son otro caso destacado de estudio de probabilidades condicionales en QM. En este caso, Alice y Bob tienen acceso a cajas negras cuyo funcionamiento interno desconocen. Sólo pueden pulsar botones que se encuentran en estas cajas y observar lo que ocurre cuando lo hacen. Si hacen esto sistemáticamente y comparan sus resultados, como ya sabrás, pueden encontrar algunos resultados bastante interesantes, como tipos de correlaciones que no pueden explicarse clásicamente.

Discordia

Otro ejemplo interesante que muestra cómo las probabilidades condicionales pueden ser complicadas en mecánica cuántica es el siguiente discordia cuántica .

En discordia cuántica de un estado bipartito se define como la diferencia entre dos expresiones para la información mutua. Clásicamente, dadas variables aleatorias $A$ y $B$ se puede escribir su información mutua de las dos formas equivalentes siguientes: $$I(A:B)=H(A)+H(B)-H(A,B), \\ J(A:B)=H(A)-H(A|B).$$ Resulta que si se consideran las versiones cuánticas de estas dos magnitudes, se pueden obtener resultados diferentes. Esto sucede porque $J(A:B)$ en realidad implica probabilidades condicionales que en QM sólo tienen sentido en una determinada elección de base de medida.