Comprobar la convergencia de $ \int_{0}^{1}\frac{dx}{|\sin{x}|^{1/2}} $

Question

Comprueba la convergencia de la integral: $$ \int_{0}^{1} \frac{dx}{|\sin{x}|^{1/2}} $$

Mi intento

La prueba de Dirichlet no ayudaría en este caso, así que voy a utilizar la prueba de comparación:

$$ x \ge \sin{x} \\ \frac{1}{x} \le \frac{1}{\sin{x}} \\ \frac{1}{|x|} \le \frac{1}{|\sin{x}|} \\ \frac{1}{|x|^{1/2}} \le \frac{1}{|\sin{x}|^{1/2}}$$ Así que

$$ \int_{0}^{1} \frac{dx}{|\sin{x}|^{1/2}} \ge \int_{0}^{1} \frac{1}{|x|^{1/2}} $$ Pero $\int_{0}^{1} \frac{1}{|x|^{1/2}}$ converge por lo que no me ayuda.

Answer 1

En lugar de utilizar el límite superior $\sin x\le x$ utilizar el límite inferior $\sin x\ge\frac{2x}{\pi}$ que se deduce de $\sin x$ siendo cóncavo en $[0,\,\pi/2]$ .

Answer 2

Cerca de $0$ , $|\sin x|\sim |x|$ Así que $\sqrt{|\sin x|}\sim \sqrt{|x|}$ y $$\frac 1{\sqrt{\sin x}}\sim \frac 1{\sqrt x}\quad \text{ for } x>0.$$

En $\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm d x}{\sqrt x}$ converge, $\;\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm d x}{\sqrt{\sin x}}$ también converge.