¿Puedo encontrar una buena aproximación de esta función?

Question

Me pregunto, si puedo encontrar un buen aproximante para esta función

$$f(z)=\log \left[ \frac{1-z^2}{z \left(3-z^2\right)}\sinh \left\{\frac{z \left(3-z^2\right)}{1-z^2}\right\}\right]$$

asumiendo $z \in [0,1)$ . Una primera aproximación ingenua sería tomar la expansión de Taylor. Pero como esta función tiene un polo en uno, tendría que tener en cuenta cada vez más términos a medida que z toma valores más cercanos a uno. ¿Existe algún método adecuado para aproximar esta función en todo el intervalo?

EDIT: Añado este gráfico para mostrar la asintótica propuesta más abajo

Pero la pregunta básica sigue en pie. ¿Puedo encontrar una sola función, que es un buen aproximante de $f$ ?

EDIT: Cambiada la trama para tener en cuenta el pequeño error.

Answer 1

Para $z \rightarrow 0$ una aproximación taylor está bien. Te dejo esta parte a ti.

Para $z\rightarrow 1$ podemos observar que las contribuciones relevantes surgen de los términos que contienen a $1-z^2$ . Las demás contribuciones sólo darán correcciones finitas en este límite y pueden aproximarse por sus valores en $z=1$ . Además, observamos que $\sinh(x)\sim \frac{e^x}{\bf2} $ como $x\rightarrow \infty$ . Teniendo todo esto en cuenta podemos escribir

$$ \lim_{z\rightarrow 1_-}f(z)\sim \log\left(\frac{1-z^2}{2}\frac{e^{\frac{2}{1-z^2}}}{{\bf2}}\right)=\frac{2}{1-z^2}+\log(1-z^2)-\log(4) $$

Edita: Un olvidado $\frac{1}{\bf2}$ se insertó. Ahora el gráfico tiene un aspecto aún mejor.