Referencia necesaria: Isomorfismo en pi_1 y homología da equivalencia débil

Question

Sea $f : X \to Y$ sea un mapa entre un espacio conexo $X$ y un espacio $Y$ . Si $\pi(f) : \pi_1(X) \to \pi_1(Y)$ es un isomorfismo, y $H_n(f) : H_n(X, G) \to H_n(Y, G)$ es un isomorfismo para todo $n \ge 1$ y para cualquier sistema local de coeficientes $G$ entonces $X$ es débilmente equivalente a $Y$ . ¿Alguien tiene una referencia (o prueba) de esto?

Answer 1

Tienes que suponer que los espacios implicados son simples (creo que Emmanuel Dror-Farjoun generalizó esto a nilpotentes), o que el mapa f induce un isomorfismo en homología con coeficientes locales. Hay un ejercicio en el libro de Hatcher que discute esto, en la Sección 4.2 (Ex. 12). También deberías echar un vistazo al hermoso artículo de Peter May The Dual Whitehead Theorems, en las actas de la conferencia del cumpleaños de Peter Hilton.

Answer 2

La demostración en el caso simplemente conectado es bien conocida y es una consecuencia del teorema relativo de Hurewicz. Véase el Corolario 1, página 79 del libro de Mosher y Tangora, Operaciones de cohomología y aplicaciones en la teoría de la homotopía para este caso.

Si $X$ y $Y$ no están conectadas por 1, entonces $f$ se eleva a un mapa de cubiertas universales $\tilde f: \tilde X \to \tilde Y$ y su suposición sobre los coeficientes locales implica que $\tilde f$ es un isomorfismo homológico. Por lo tanto, podemos aplicar el párrafo anterior para demostrar que $\tilde f$ es una equivalencia débil. Esto implica que $f$ es desde $f$ es un $\pi_1$ -isomorfismo.

Answer 3

Switzer demuestra en su Topología algebraica como el teorema 10.28 esa afirmación para $1$ -conectado espacios Complejos CW.